¨Ubung zur Mathematik für Physiker 1 Blatt 2 Aufgabe 1. (a) Zeigen

Wend Werner
Thomas Timmermann
Übung zur Mathematik für Physiker 1
Blatt 2
Abgabe bis Do, 30.10., 13 Uhr
Aufgabe 1 zur Bearbeitung in der Übung
Aufgaben 2-4 zur selbständigen Bearbeitung
Aufgabe 1.
(a) Zeigen Sie: |a − b| ≥ |a| − |b| für alle a, b ∈ Q.
(b) Das arithmetische und harmonische Mittel zweier positiver rationaler Zahlen
a, b ist definiert als
A(a, b) =
a+b
,
2
H(a, b) =
2ab
.
a+b
Zeigen Sie: H(a, b) ≤ A(a, b).
P
(c) Zeigen Sie: (1 + n1 )n ≤ nk=0 k!1 für alle natürlichen Zahlen n ≥ 1.
Aufgabe 2. Sei x ≥ −1 und sei n eine natürliche Zahl. Beweisen Sie mit
vollständiger Induktion die Bernoullische Ungleichung
(1 + x)n ≥ 1 + nx.
Aufgabe 3.
(a) Zeigen Sie, dass für alle rationallen Zahlen a, b, c, d gilt:
(ab + cd)2 ≤ (a2 + c2 )(b2 + d2 ).
(b) Bestimmen Sie die Menge aller Zahlen x, welche die Bedingung
||x − 1| − 2| ≤ 1 und ||x − 2| − 1| ≤ 1
erfüllen.
Aufgabe 4. Zeigen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen n ≥ 0 gilt:
(a) 2n ≤ (n + 1)!
(b) (1 + n1 )n < 3. (Hinweis: Verwenden Sie 1(c), 4(a) und die Formel für die
geometrische Summe vom letzten Blatt.)
Bemerkung: Alle obigen Aussagen gelten auch für reelle statt rationale Zahlen.
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