Behauptung: Sei q ∈ R mit 0 gilt lim qn

Behauptung:
Sei q ∈ R mit 0 < q < 1. Dann gilt lim q n = 0.
n→∞
Beweis:
(1) Sei ε > 0 (beliebig, fest).
Wir wollen zeigen:
Es gibt eine natürliche Zahl N , so dass für alle natürlichen Zahlen n gilt:
n ≥ N ⇒ |xn − 0| = |q n − 0| = q n < ε
(2) Um ein solches N zu finden, nutzen wir folgenden Trick“:
”
Wir notieren 1q in der Form 1q = 1 + δ mit δ > 0
(wegen der Voraussetzung 0 < q < 1 ist das stets möglich).
Nun können wir
1
qn
für jede natürliche Zahl n wie folgt darstellen:
1
=
qn
n
1
= (1 + δ)n ≥ 1 + nδ ≥ nδ
q
Dabei folgt (1 + δ)n ≥ 1 + nδ aus der Bernoulli-Ungleichung.
Es gilt also q n ≤
1
.
nδ
(3) Wegen (1) ist eine natürliche Zahl N gesucht, die
n ≥ N ⇒ qn < ε
erfüllt. Wegen (2) wissen wir, dass q n ≤
1
nδ
gilt.
Setze N := d εδ1 e + 1. Dann erfüllt N die in (1) geforderte Bedingung, denn:
1
1
1
n≥
⇒ qn ≤
<ε
+1 ⇒ n>
εδ
εδ
nδ
Insgesamt gilt also
n ≥ N ⇒ qn < ε
und damit ist die Behauptung bewiesen.