¨Ubungen zum Vorkurs Mathematik WS 15/16

Frank Lapp, Samuel Littig, Bea Schumann
Blatt 2
Übungen zum Vorkurs Mathematik WS 15/16
Auf diesem Blatt dürfen Sie die Existenz der natürlichen Zahlen und ihre Rechenregeln,
die Sie aus der Schule kennen, voraussetzen.
Aufgabe 1 In der Vorlesung haben wir mittels eines direkten Beweises gezeigt, dass die
einzige gerade Primzahl p = 2 ist. Machen Sie sich noch einmal klar was hier die Voraussetzung und was die Behauptung ist. Beweisen Sie die Aussage mittels Kontraposition.
Aufgabe 2 Zeigen Sie mit Hilfe eines Widerspruchsbeweises, dass es unendlich viele
Primzahlen gibt.
Tipp: Angenommen es gibt endlich viele Primzahlen p1 , p2 , . . . , pn . Betrachten Sie
die Zahl p1 · p2 · · · pn + 1. Ist diese Zahl eine Primzahl? Benutzen Sie, dass jede natürliche
Zahl ≥ 2 mindestens einen Primteiler hat.
Aufgabe 3 Überlegen Sie sich eine Strategie für einen möglichst kurzen Beweis der
folgenden Aussage und führen Sie diesen Beweis durch.
Für eine natürliche Zahl n sind die folgenden Aussagen äquivalent:
1. n ist gerade
2. n2 ist gerade
3. n3 ist gerade.
Hinweis: Die Aussage n gerade ⇒ n2 gerade “ wurde schon in der Vorlesung bewiesen
”
und darf benutzt werden.
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