Einführung in die Zahlentheorie

SS 2017
24. Mai 2017
Mathematisches Institut
der Universität München
Prof. Dr. O. Forster
Einführung in die Zahlentheorie
Übungsblatt 4
Aufgabe 13
Ein Element x eines Ringes R heißt idempotent, wenn x2 = x.
a) Man zeige: Im Restklassenring Z/mZ gibt es genau 2r idempotente Elemente, wobei r
die Anzahl der verschiedenen Primteiler von m ist.
b) Man bestimme explizit alle idempotenten Elemente des Rings Z/60Z.
Aufgabe 14
Man beweise: Eine ungerade ganze Zahl p > 3 ist genau dann prim, falls
( p−1
)!2 ≡ (−1)(p+1)/2 mod p.
2
Aufgabe 15
Sei f : [1, ∞[ → C eine Funktion, so dass ein ε > 0 existiert mit f (x) = 0 für x 6 1 + ε.
Es werde eine Funktion F : [1, ∞[ → C definiert durch
X
f (x1/k ).
F (x) :=
k>1
(Die Summe ist endlich, da x1/k 6 1 + ε für genügend großes k.)
Man beweise folgende Umkehrformel:
X
µ(k)F (x1/k ).
f (x) =
k>1
Dabei bezeichnet µ : N1 → Z die Möbius-Funktion.
Aufgabe 16
Man beweise: Für alle natürlichen Zahlen n ∈ N1 gilt
X
e2πik/n = µ(n).
16k6n
gcd(k,n)=1
Hier wird nur über die zu n teilerfremden k summiert.
Bemerkung. Für jede natürliche Zahl n > 2 gilt bekanntlich
n
X
e2πik/n = 0.
k=1