Kongruenzen/Zahlentheoretische Funktionen

WS 2006/07
Aufgabenblatt 6
Elementare Zahlentheorie (C. Mohr)
Kongruenzen/Zahlentheoretische
Funktionen
37. Zeigen Sie: 84|16n − 9n − 7 für alle n ∈ N.
Hinweis: Primfaktorzerlegung von 84!
38. Zeigen Sie: Die Mersenne-Zahl M23 = 223 − 1 ist durch 47 teilbar.
Hinweis: 223 = (25 )4 · 23 − 1. Zeigen Sie: 25 ≡ −15 mod 47 und folgern Sie daraus
die Behauptung.
39. Begründen Sie mit dem kleinen Satz von Fermat:
Für alle n ∈ N gilt: 42 | n7 − n.
40. Bestimmen Sie die Werte der Eulerschen ϕ-Funktion für die natürlichen Zahlen
bis 30 durch elementares Abzählen der teilerfremden Zahlen. Überprüfen Sie Ihre
Ergebnisse anhand der Formeln aus der Vorlesung.
41. Für jede natürliche Zahl k ist die durch
σk (a) :=
X
dk
d|a
definierte zahlentheoretische Funktion σk multiplikativ. Machen Sie sich dies an
Beispielen (k = 0, 1, 2) klar.
Was sind σ0 und σ1 ?