10 - Mathematik

Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e. V.
41. Mathematik-Olympiade
4. Stufe (Bundesrunde)
Klasse 10
Aufgaben
2. Tag
Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen und Nebenrechnungen soll deutlich
erkennbar in logisch und grammatisch einwandfreien Sätzen dargestellt werden.
Zur Lösungsgewinnung herangezogene Aussagen sind zu beweisen. Nur wenn eine so zu verwendende Aussage aus dem Schulunterricht oder aus Arbeitsgemeinschaften bekannt ist, genügt es ohne Beweisangabe, sie als bekannten Sachverhalt
anzuführen.
411044
Anstelle der Dezimaldarstellung einer natürlichen Zahl n ≥ 0 betrachten wir hier
ihre Darstellung im Dreiersystem: Jedes natürliche n ≥ 0 lässt sich schreiben
als
n = ik · 3k + ik−1 · 3k−1 + · · · + i1 · 3 + i0 = (ik ik−1 . . . i1 i0 )3
mit Ziffern ik , ik−1 , . . . i1 , i0 , die 0, 1 oder 2 sein können. Diese Darstellung ist
eindeutig bis auf führende Nullen.
a) Zeigen Sie: Die natürliche Zahl n ≥ 0 ist genau dann gerade, wenn die
Anzahl der Einsen in ihrer Darstellung im Dreiersystem gerade ist.
b) Eine natürliche Zahl n ≥ 0, deren Darstellung im Dreiersystem keine
Einsen enthält, nennen wir OE-Zahl (OhneEins).
Zeigen Sie: Jede gerade Zahl lässt sich als Summe zweier OE-Zahlen schreiben.
411045
Ermitteln Sie alle rationalen Zahlen x, für die gilt:
4x + 9x + 16x = 6x + 8x + 12x .
411046
Es sei P innerer Punkt einer Strecke AB. AO1 P und BO2 P seien zwei gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke mit den Hypotenusen AP bzw. BP , die beide
auf derselben Seite der Geraden AB liegen.
Bestimmen Sie die Menge aller Mittelpunkte der Strecken O1 O2 , wenn P die
inneren Punkte der Strecke AB durchläuft.