Aufgaben Klasse 11, 9. Blatt

Aufgaben Klasse 11, 9. Blatt
Aufgabe 9.1
In einem Dreieck 4ABC sei auf der Seite AB ein Punkt D und auf der Seite BC ein Punkt F
beliebig festgelegt. Es sei E der Mittelpunkt der Strecke DF . Beweise
|AD| + |F C| ≤ |AE| + |EC|
Aufgabe 9.2
Beweise, daß die Summe dreier aufeinanderfolgender Quadratzahlen keine Quadratzahl sein
kann.
Aufgabe 9.3
Es sei c eine natürliche Zahl, die sich als Summe zweier Quadratzahlen darstelen läßt. Beweise,
daß sich dann auch cn für alle natürlichen n ≥ 1 als Summe zweier Quadratzahlen darstelen
läßt.
Hinweis: Benutze komplexe Zahlen.
Aufgabe 9.4
Wie bewiesen wurde, gilt für die Anzahl an von Möglichkeiten, eine Zahl n als ungeordnete
Summe von positiven ganzen Zahlen darzustellen, an = 2n−1 . Finde dafür einen kombinatorischen Beweis, indem Du eine eineindeutige Zuordnung zu einer anderen kombinatorischen
Aufgabe mit gleicher Lösung findest, z.B. der Anzahl von Teilmengen einer Menge mit n − 1
Elementen oder der Anzahl von (n − 1)-stelligen Dualzahlen (mit führenden Nullen).
Aufgabe 9.5
Bestimme die Anzahl an von Möglichkeiten, eine ZahlP
n als Summe gleicher Summanden darn
zustellen und ermittle formal die Potenzreihe A(x) = ∞
n=0 an x .
Dr. Holger Stephan
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