QEDMO Gunzenhausen 1. Zeige: Jede ganze Zahl kann als Summe

QEDMO Gunzenhausen
1. Zeige: Jede ganze Zahl kann als Summe von 5 dritten Potenzen ganzer Zahlen geschrieben
werden.
2. Sei 4ABC ein Dreieck. Seien C 0 und A0 die Spiegelbilder der Punkte C bzw. A an der von
B ausgehenden Höhe des Dreiecks 4ABC. Die Senkrechte zu der Geraden BA0 durch den
Punkt C 0 schneide die Gerade BC in U ; die Senkrechte zu der Geraden BC 0 durch den
Punkt A0 schneide die Gerade BA in V . Beweise: U V k CA.
3. Bei einem Turnier zwischen n Personen spielt jeder genau einmal gegen jeden Anderen,
wobei es immer Sieger und Verlierer gibt, also kein Patt. Beweise: Man kann die n
Personen in einer Kette P1 → P2 → P3 → ... → Pn−1 → Pn anordnen, so dass jede Person
Pi gegen ihren Nachfolger Pi+1 in der Kette gewonnen hat.
4. Finde alle Tripel (x, y, z) ganzer Zahlen mit x3 + 2y 3 + 5z 3 = 0.
5. Sei 4ABC ein Dreieck, und seien C 0 und A0 die Fußpunkte seiner von den Ecken C bzw. A
ausgehenden Höhen. Sei P der Mittelpunkt der Strecke C 0 A0 . Die Umkreise der Dreiecke
4AC 0 P und 4CA0 P haben außer P einen weiteren gemeinsamen Punkt; wir bezeichnen
diesen mit Q. Man beweise:
(a) Der Punkt Q liegt auf dem Umkreis des Dreiecks 4ABC.
(b) Die Gerade P Q geht durch den Punkt B.
AQ
AB
(c) Es gilt
=
.
CQ
CB
6. Weise nach, dass für alle rationalen Zahlen a, b, c, d die Ungleichung
(a − b)(b − c)(c − d)(d − a) + (a − c)2 (b − d)2 ≥ 0 gilt.
√
7. Man zeige, dass man aus der Menge {1, 2, ..., n} eine Teilmenge von maximal 2 b nc + 1
Elementen auswählen kann, so dass unter den paarweisen Differenzen der Elemente dieser
Teilmenge alle Zahlen 1, 2, ..., n − 1 vorkommen. Dabei bezeichnet bxc die Gaußklammer,
also die größte ganze Zahl n ≤ x (Abrunden).
8. Sei n eine ganze Zahl, die sich in der Form n = a2 + ab + b2 mit ganzzahligen a, b darstellen
lässt. Zeige: Auch 7n kann in dieser Form dargestellt werden.
9. Sei 4ABC ein Dreieck mit AB 6= CB. Sei C 0 ein Punkt auf dem Strahl [AB, für den
AC 0 = BC gilt. Sei A0 ein Punkt auf dem Strahl [CB, für den CA0 = BA gilt. Die
Umkreise der Dreiecke 4ABA0 und 4CBC 0 haben außer dem Punkt B noch einen
gemeinsamen Punkt Q. Beweise: Die Gerade BQ halbiert die Strecke [CA].
10. Sei n ≥ 3 eine natürliche Zahl. Es seien P1 , P2 , P3 , ..., Pn verschiedene zweielementige
Teilmengen von {1, 2, 3, ..., n}. Weiter gebe es, sobald Pi und Pj (i 6= j) nicht vollkommen
elementfremd sind, ein k mit Pk = {i, j}. Zeige: Jede Zahl aus {1, 2, 3, ..., n} kommt in
genau zwei der Mengen vor.
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11. Seien a, b, c natürliche Zahlen, so dass a2 + b2 + c2 durch a + b + c teilbar ist. Zeige:
Mindestens zwei der Zahlen a3 , b3 , c3 lassen gleiche Reste bei Division durch a + b + c.
12. Zeige für alle positiven rationalen Zahlen a, b, c die Ungleichung
(b + c)2 (c + a)2 (a + b)2
+ 2
+ 2
≥6
a2 + bc
b + ca
c + ab
13. Sei n eine natürliche Zahl. Man finde (mit Beweis!) die Anzahl der Folgen a1 , a2 , ..., ak
verschiedener Zahlen aus {1, 2, 3, ..., n}, so dass (mit Ausnahme der ersten Zahl der Folge)
es zu jedem Folgenglied a ein vorheriges (es heiße b) gibt, welches zu diesem Differenz 1 hat
(also a − b = ±1 ist).
14. Im Folgenden steht die Abkürzung g ∩ h für den Schnittpunkt zweier Geraden g und h.
Sei ABCDE ein konvexes Fünfeck. Seien A0 = BD ∩ CE, B 0 = CE ∩ DA, C 0 = DA ∩ EB,
D0 = EB ∩ AC und E 0 = AC ∩ BD. Ferner sei A00 = AA0 ∩ EB, B 00 = BB 0 ∩ AC,
C 00 = CC 0 ∩ BD, D00 = DD0 ∩ CE und E 00 = EE 0 ∩ DA.
Man beweise:
EA00 AB 00 BC 00 CD00 DE 00
·
·
·
·
=1
A00 B B 00 C C 00 D D00 E E 00 A
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