Einführung in die elementare Zahlentheorie

Dr. S. Trostorff
Dr. F. Morherr
Blatt 06
Einführung in die elementare Zahlentheorie
23. Aufgabe:
Sei n ∈ N≥1 und M ⊆ {1, . . . , 2n} eine Teilmenge mit n + 1 Elementen. Beweise, dass
in M mindestens eine Zahl k geben muss mit k + 1 ∈ M . Versuche, die Aussage sowohl mit vollständiger Induktion, dem Prinzip des kleinsten Täters als auch mit dem
Schubfachprinzip zu beweisen.
24. Aufgabe: (zum Thema Homomorphismen)
Seien (G, ◦) und (H, ⊕) Gruppen. Eine Abbildung f : G → H heißt (Gruppen-)Homomorphismus,
falls
∀x, y ∈ G : f (x ◦ y) = f (x) ⊕ f (y).
Beweise, dass ker f := {x ∈ G | f (x) = eH } eine Untergruppe von G bildet (hierbei sei
eH das neutrale Element in H). Zeige ferner, dass durch
x ∼ y :⇔ f (x) = f (y)
eine Äquivalenzrelation gegeben ist und dass für x ∈ G die zugehörige Äquivalenzklasse
durch
[x]∼ = {x ◦ y | y ∈ ker f }
gegeben ist.
25. Aufgabe:
Die k-te Fünfeckszahl ist gegeben durch
(5)
Pk
=
k
X
(3j − 2) .
j=1
(a) Zeige, dass für alle k ∈ N≥1 gilt
(5)
Pk
1
= k (3k − 1) .
2
(3)
(b) Zeige, dass es unendlich viele Dreieckszahlen Pk
Fünfeckszahlen sind.
=
k(k+1)
2
Hinweis: Finde nicht-triviale Zahlen a, b, c, d, e, f ∈ N, so dass
(3)
(5)
Pk − P`
(3)
(5)
= Pak+b`+c − Pdk+e`+f
für alle k, ` ∈ N≥1 gilt.
1
gibt, die gleichzeitig
26. Aufgabe: (Schubfachprinzip)
(a) Sei M ⊆ N≥1 mit genau 6 Elementen. Zeige, dass es dann zwei verschiedene Zahlen
aus M gibt, deren Differenz durch 5 teilbar ist.
(b) Sei n ∈ N≥1 und M ⊆ {1, . . . , 2n} eine Teilmenge mit n + 1 Elementen. Beweise,
dass es zwei Elemente in M gibt, so dass ein Element das Vielfache des anderen
Elements ist. (Hinweis: Schreibe die Elemente aus M als Produkt einer geraden und
einer ungeraden Zahl.)
27. Aufgabe:
Wir betrachten wieder die Fibonacci-Folge (xn )n∈Z mit x0 = 0, x1 = 1 und xn+2 =
xn+1 + xn für n ∈ Z. Zeige, dass für alle n ∈ Z gilt
n
0 1
1 0
0 1
,
+ xn
= xn−1
1 1
0 1
1 1
x−n = (−1)n+1 xn .
2