Übungsblatt 4

Mathematisches Institut der LMU
Prof. Dr. P. Müller
Dr. S. Morozov
Analysis II
SoSe 2015
06. 05. 2015
Übungsblatt 4
13. Sei f : R>0 → R>0 konkav, d.h. für alle λ ∈ [0, 1] und x, y > 0 gilt
f λx + (1 − λ)y > λf (x) + (1 − λ)f (y).
Außerdem gelte f (0) = 0 sowie f (x) > 0 für alle x > 0.
(a) Beweise, dass f monoton wächst.
f (x)
f (y)
>
.
(b) Zeige: Für x > y > 0 gilt
y
x
y
.
x
(c) Zeige mithilfe von (b): f ist subadditiv, d.h. für x, y > 0 gilt f (x + y) 6 f (x) + f (y).
Hinweis: Verwende die Konkavität mit λ =
(d) Sei (M, d) ein metrischer Raum. Beweise, dass auch f ◦ d eine Metrik auf M ist.
(8 Punkte)
˜ metrische Räume. Für jedes n ∈ N sei fn : X → Y eine stetige
14. Seien (X, d) und (Y, d)
Funktion. Die Folge (fn )n konvergiere gleichmäßig gegen f : X → Y , d.h.
∀ε > 0 ∃N ∈ N : ∀n > N ∀x ∈ X gilt d˜ fn (x), f (x) < ε.
Zeige, dass f stetig ist.
Hinweis: Adaptiere den Beweis von Satz 3.33 aus Analysis 1.
(3 Punkte)
15. Seien (M1 , d1 ), (M2 , d2 ) metrische Räume und f : M1 → M2 . Zeige:
f stetig ⇐⇒ ∀A ⊆ M2 : A = A ⇒ f −1 (A) = f −1 (A) ,
d.h. eine Funktion ist genau dann stetig, wenn das Urbild jeder abgeschlossenen Menge
eine abgeschlossene Menge ist.
(3 Punkte)
16. Sei RN die Menge aller reellen Zahlenfolgen. Für x = (xn )n∈N , y = (yn )n∈N ∈ RN sei
d(x, y) :=
∞
X
1
|xn − yn |
·
.
n 1 + |x − y |
2
n
n
n=1
(a) Beweise, dass die angegebene Reihe für alle x, y ∈ RN konvergiert.
(b) Beweise, dass d eine Metrik auf RN ist.
t
ist monoton wachsend.
1+t
(k) (c) Zeige: Die Konvergenz einer Folge (x(k) )k = (xn )n k aus RN gegen ein Element
x = (xn )n aus RN bezüglich der Metrik d ist genau die koordinatenweise Konvergenz,
d.h. es gilt
d
x(k) −→ x ⇐⇒ x(k)
n −→ xn für alle n ∈ N.
Hinweis: Die Funktion f : [0, ∞[ → [0, 1[, f (t) =
k→∞
k→∞
(d) Zeige: Der metrische Raum (RN , d) ist beschränkt, genauer diam RN = 1.
(e) Zeige: Der metrische Raum (RN , d) ist nicht folgenkompakt.
(10 Punkte)
Abgabe: Bis Mittwoch, den 13. 05. 2015, 14:00 Uhr s.t. im Briefkasten im
1. Obergeschoss.