Präsenz¨ubungen 31.10.

Präsenzübungen 31.10.-04.11.
Aufgabe 1: Einfache Beweise zur Konvergenz
(a) Man zeige oder widerlege: Eine Folge (an )n∈N ist genau dann konvergent, wenn sie genau einen
Häufungspunkt besitzt.
(b) Sei (an )n∈N eine Folge von reellen Zahlen. Man beweise: Konvergiert (an )n∈N in C, so gilt
lim an ∈ R
n→∞
(c) Sei (an )n∈N eine konvergente Folge mit Grenzwert a ∈ C. Definiere
bn :=
a1 + · · · + an
n
Man beweise, dass (bn )n∈N ebenfalls konvergent ist mit Grenzwert a.
(d) Man zeige durch ein Beispiel, dass die Umkehrung von (c) im Allgemeinen falsch ist.
(e) Man beweise, dass die Umkehrung von (c) aber gilt, falls (an )n∈N reell und monoton wachsend
ist (zeige b2n ≥ a2n ).
Aufgabe 2: Rekursiv definierte Folgen
(a) Für einen Startwert c ∈ C prüfe man auf Konvergenzverhalten:
• a1 := c,
an+1 := an − 1
• a1 := c,
an+1 :=
• a1 := c,
an+1 :=
an
2
a2n
>0
(b) Sei x ∈ R . Für einen Startwert c ∈ R>0 betrachte die Folge (an )n∈N , die durch die folgende
Rekursionsvorschrift gegeben ist:
1
x
a1 := c, an+1 :=
an +
, n∈N
2
an
√
Man zeige, dass (an )n∈N wohldefiniert und konvergent gegen x ist, z.B. in folgenden Schritten:
• an > 0 für alle n ∈ N, also ist an+1 immer definiert
• a2n ≥ x für alle n ≥ 2
• an+1 ≤ an für alle n ≥ 2, dies zeigt die Existenz eines Grenzwerts a
• Es gilt a2 = x
(c) Unter denselben Voraussetzungen wie in (b) definiere für ein k ∈ N, k ≥ 2 allgemeiner
1
x
a1 := c, an+1 :=
(k − 1)an + k−1
k
an
√
und zeige Wohldefiniertheit und Konvergenz gegen k x. (Hier folgt die Monotonie aus der Bernoullischen Ungleichung)
Aufgabe 3: Grenzwertbestimmung
Man prüfe (an )n∈N auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert:
(a) an =
(b) an =
1
√
k n
√
n
für k ∈ N, k ≥ 2
n!
(c) an =
n!
(2n)!
(d) an =
2n2 −1+i(3n2 +5n)
n2
(e) an =
4n3 +6n2 +6n−25
3n4 −18n3 +5n2 −4
(f) an =
(n+2i)3 −(n−1−i)3
(n+1)2
(g) an = xn ·
n−1
n+1
(h) a1 = c ∈ C,
für x ∈ C
an+1 =
3−an
2