Analysis I - TU Ilmenau

Institut für Mathematik
Dr. rer. nat. habil. H. Winkler (Curiebau C 231),
Dipl.-Math. M. Vielitz, M.Sc. M. Kellner
WS 2012/13
Analysis I
9. Serie
Aufgabe* 49 Auf M = (0, 1) führen wir den folgenden Abstandsbegriff ein:
d(x, y) := | x1 − y1 |, ∀x, y ∈ M . Definiert d eine Metrik auf M ?
Aufgabe 50 Es seien (M, d) ein metrischer Raum und x0 und x1 zwei verschiedene
Elemente von M . Dann gilt für alle r mit 0 < r ≤ 1/2 · d(x0 , x1 ): Ur (x0 ) ∩ Ur (x1 ) = ∅.
Beweise diesen Sachverhalt.
Aufgabe* 51 Es sei (M, d) ein metrischer Raum. Zeige, dass für eine nichtleere Teilmenge B ⊆ M folgende Aussagen äquivalent sind:
1. { d(x, y) | x, y ∈ B } ist beschränkt in R.
2. Es existiert ein x ∈ B und ein ρ ∈ R, so dass B ⊆ Uρ (x).
3. Für alle x ∈ B existiert ein ρ ∈ R, so dass B ⊆ Uρ (x).
Aufgabe 52 Sei M := Rk versehen mit den Metriken
d1 (x, y) :=
d2 (x, y) :=
k
P
(Betragssummenmetrik) ,
|xi − yi |
i=1
P
k
(xi − yi )2
i=1
1/2
(Euklidische Metrik) ,
(Maximummetrik).
d3 (x, y) := max {|xi − yi |}
i=1,...,k
a) Zeige, dass für alle x, y ∈ Rk folgende Abschätzungen gelten:
d3 (x, y) ≤ d2 (x, y) ≤ d1 (x, y) ≤ k d3 (x, y) .
b) Sei (xn ) eine Folge im Rk . Beweise: Konvergiert die Folge (xn ) in einer der drei
Normen gegen x0 ∈ Rk , so konvergiert sie in jeder der drei Normen gegen x0 . Kurz:
xn −→ x0
d1
⇐⇒
xn −→ x0
d2
⇐⇒
xn −→ x0 .
d3
Aufgabe* 53 Es sei (M, d) ein metrischer Raum. Zeige: Sind (xn ), (yn ) ⊂ M konvergente Folgen mit xn → x0 und yn → y0 , so gilt d(xn , yn ) → d(x0 , y0 ).
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Aufgabe 54 Es sei R mit der Euklidischen Metrik ausgerüstet. Beantworte folgende
Fragen und begründe deine Antworten:
a) Ist eine Folge, die genau einen Häufungspunkt besitzt, konvergent?
b) Unter welchen Bedingungen ist eine Folge, die genau einen Häufungspunkt besitzt,
konvergent?
Aufgabe 55 Es seien (an )n∈N und (bn )n∈N Folgen reeller Zahlen. Zeige: Sind (an )n∈N und
(bn )n∈N konvergent, dann sind es auch die Folgen (max{an , bn })n∈N und (min{an , bn })n∈N .
Gilt auch die Umkehrung? Begründe deine Aussage.
Aufgabe 56 Es sei an := n21−8 +1 für n ∈ N. Zeige anhand der Definition von Konvergenz,
dass (an )n∈N konvergiert und bestimme den Grenzwert.
Die mit * markierten Aufgaben sind als Hausaufgaben zu bearbeiten und vor der nächsten
Übung am 03.12.12 abzugeben. Die restlichen Aufgaben sind so vorzubereiten, dass diese
an der Tafel vorgestellt werden können.
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