Ubungsblatt 4 - Universität Basel

Universität Basel
Prof. Dr. Enno Lenzmann
Infinitesimalrechnung II
22.03.2013
Übungsblatt 4
Abgabe: Am Freitag den 05.04. in der Vorlesung oder bis 12:00 Uhr im Mathematischen Institut (in das jeweilige Assistentenfach beim Eingang).
Bemerkung: Aufgrund des Osterferien fällt am Donnerstag den 28.03. und
Freitag den 29.03. die Vorlesung aus!
Aufgabe 1. Sei X ein topologischer Raum und Y ⊂ X eine Teilmenge. Beweise:
a) Y ist genau dann abgeschlossen, wenn ∂Y ⊂ Y .
b) Y ist genau dann offen, wenn Y ∩ ∂Y = ∅.
c) Ist (X, d) ein vollständiger metrischer Raum und Y ⊂ X abgeschlossen, so
ist (Y, dY ) ein vollständiger metrischer Raum mit der induzierten Metrik
dY : Y × Y → R,
(x, y) 7→ dY (x, y) := d(x, y).
Aufgabe 2. Es sei f : R2 → R definiert durch
xy
für (x, y) 6= (0, 0).
x2 +y 2
f (x, y) :=
0
für (x, y) = (0, 0).
Ist f stetig im Punkt (0, 0)?
Aufgabe 3. Betrachte R als metrischen Raum mit der Standardmetrik d(x, y) =
|x − y|.
a) Finde ein Beispiel einer Familie von abgeschlossenen Mengen Ak ⊂ R, k ∈
N, so dass ∪k∈N Ak nicht abgeschlossen ist.
b) Finde ein Beispiel einer Familie von offenen Mengen Uk ⊂ R, k ∈ N, so
dass ∩k∈N Uk nicht offen ist.
Die Antworten sind zu begründen.
Aufgabe 4. Sei X ein metrischer Raum mit der trivialen Metrik d(x, y) = 1 für
x 6= y und d(x, y) = 0 für x = y. Zeige: Eine Teilmenge A ⊂ X ist genau dann
kompakt, wenn A endlich viele Elemente hat.
*Aufgabe 5. Sei (X, d) ein metrischer Raum und A ⊂ X eine nichtleere Teilmenge.
Definiere die Funktion f : X → R durch
f (x) := inf {d(x, y) : y ∈ A}.
Anschaulisch beschreibt f (x) den kleinsten Abstand vom Punkt x ∈ X zur Menge
A. (Insbesondere ist f (x) = 0 für x ∈ A.) Zeige, dass f eine stetige Funktion ist.
Zusatzfrage: Gib ein konrektes Beispiel für X, A und p 6∈ A an, so dass f (p) = 0
gilt.
*Aufgabe 6. Sei C 0 ([0, 1]) der Raum der stetigen Funktion auf [0, 1]. Offenbar ist
X ein Vektorraum. Betrachte die folgenden Normen auf X:
Z 1
kf k∞ = sup{|f (x)| : x ∈ [0, 1]} und kf k1 =
|f (x)| dx.
0
Ohne Beweis nehmen wir an, dass k · k∞ und k · k1 tatsächlich Normen sind.
1
2
a) Zeige, dass C 0 ([0, 1]) mit d(f, g) = kf − gk∞ ein vollständiger metrischer
Raum ist. (Hinweis: Gleichmässige Konvergenz!)
b) Zeige, dass C 0 ([0, 1]) mit d(f, g) = kf − gk1 kein vollständiger metrischer
Raum ist. (D. h. finde eine Cauchy-Folge, welche nicht konvergent ist.)
c) Zeige, dass es keine Norm k · k auf C 0 ([0, 1]) gibt, so dass folgende Aussagen
äquivalent sind:
(1) limn→∞ kfn k = 0
(2) limn→∞ fn (x) = 0 für alle x ∈ [0, 1].
(Dies zeigt, dass der Begriff der punktweisen Konvergenz (im Gegensatz
zur gleichmässigen Konvergenz) nicht durch eine Norm-Konvergenz ausgedrückt werden kann.)
Hinweis zu c): Betrachte die Folge en ∈ C 0 ([0, 1]), mit n ≥ 2, gegeben durch

für x ∈ [0, 1/n)
 nx
2 − nx
für x ∈ [1/n, 2/n),
en (x) =

0
für x ∈ [2/n, 1]
Betrachte nun fn = αn en mit geeigneten Zahlen αn ∈ R und leite einen Widerspruch her.