Übungsblatt 1

Funktionalanalysis: Camillo de Lellis
FS 2008
Übungsblatt 1
Metrische Räume, topologische Räume
Abgabetermin: Montag, den 3. März in der Vorlesung oder bis 10 Uhr in den Briefkasten des
Assistenten
Aufgabe 1 (4 Punkte). Sei h·, ·i eine reellwertige bilineare Funktion auf Rn × Rn . Zeige,
dass h·, ·i genau dann ein Skalarprodukt ist, wenn es eine symmetrische, positiv definite
Matrix (Aij ) ∈ Rn×n gibt, so dass
X
hx, yi =
xi Aij yj
∀ x, y ∈ Rn .
i,j
Aufgabe 2 (4 Punkte). (a) Sei (X, d) ein metrischer Raum und sei A ⊂ X. Zeige,
dass (A, d) ein metrischer Raum ist.
(b) Sei γ : R → R2 eine injektive Abbildung und definiere d(t, s) = |γ(t) − γ(s)| für
alle s, t ∈ R. Zeige, dass (R, d) ein metrischer Raum ist.
(c) Gib ein Beispiel einer Metrik d auf R, so dass die Kugel B1 (0) nicht konvex ist.
Aufgabe 3 (4 Punkte). (a) Seien X eine Menge und d und δ zwei Abstandsfunktionen
auf X. d und δ heissen äquivalent, wenn es zu jedem x ∈ X und ε > 0 positive
Zahlen r1 , r2 gibt, so dass
B1 (x, r1 ) ⊂ B2 (x, ε) und B2 (x, r2 ) ⊂ B1 (x, ε) ,
wobei B1 (x, r) die d-Kugel und B2 (x, r) die δ-Kugel mit Radius r und Mittelpunkt
x ist. Zeige, dass die beiden Metriken die gleiche Topologie induzieren.
(b) Sei (X, d) ein metrischer Raum und definiere
δ(x, y) :=
d(x, y)
.
1 + d(x, y)
Zeige, dass d und δ äquivalent sind.
Aufgabe 4 (4 Punkte).
ε>0
(a) Zeige, dass in einem metrischen Raum (M, d) für x ∈ M ,
Uε (x) := {y ∈ M : d(x, y) < ε}
offen,
Bε (x) := {y ∈ M : d(x, y) ≤ ε}
abgeschlossen,
Sε (x) := {y ∈ M : d(x, y) = ε}
abgeschlossen
gilt.
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Funktionalanalysis: Camillo de Lellis
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(b) Zeige: Falls (M, k · k) ein normierter Vektorraum ist und d(x, y) = kx − yk, dann
ist Bε (x), bzw. Sε (x), die abgeschlossene Hülle, bzw. der Rand, von Uε (x).
(c) Gib ein Beispiel eines metrischen Raumes X mit Uε (x) 6= Bε (x) für geeignete x ∈ X
und ε > 0.
Aufgabe 5 (8 Punkte). Sei (x1 , . . . , xn ) ein n-Tupel positiver Zahlen. Dann definieren
wir
p
1/p
x1 + . . . + xpn
Mp (x1 , . . . , xn ) :=
für p ∈ R \ {0},
n
M0 (x1 , . . . , xn ) := (x1 · x2 · . . . · xn )1/n
M∞ (x1 , . . . , xn ) := max xi
i
und
M−∞ (x1 , . . . , xn ) := min xi .
i
Beweise, dass die Funktion [−∞, ∞] 3 p 7→ Mp (x1 , . . . , xn ) stetig und nicht fallend ist.
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