Übungsblatt 1 - Fachrichtung Mathematik

UNIVERSITÄT DES SAARLANDES
FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK
Dr. Moritz Weber
Übungen zur Vorlesung Funktionalanalysis
Wintersemester 2013/2014
Blatt 1
Abgabe: Donnerstag, 24.10.2012, 8:30 Uhr
im Briefkasten von Jonas Wahl
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Aufgabe 1 (10 Punkte). Sei f : X → Y eine Abbildung zwischen topologischen Räumen.
Zeige, dass f genau dann stetig ist (im Sinne von Definition 1.3 der Vorlesung), wenn für
jedes Netz (xλ )λ∈Λ ⊆ X mit xλ → x schon f (xλ ) → f (x) gilt. Dies beweist Bemerkung
1.9(d) der Vorlesung.
Produkttopologie. Sind X und Y topologische Räume, so wird die Produkttopologie auf
X × Y von der Menge {U × V | U ⊆ X, V ⊆ Y beide offen} erzeugt. Offene Mengen in
X × Y sind dann also beliebige Vereinigungen von solchen Mengen U × V . Entsprechend
ist N ⊆ X × Y eine Umgebung von (x, y) ∈ X × Y , wenn es offene Mengen U ⊆ X, V ⊆ Y
gibt mit x ∈ U, y ∈ V, U ×V ⊆ N . Also konvergiert ein Netz (xλ , yλ )λ∈Λ gegen (x, y) genau
dann, wenn xλ → x und yλ → y. Aus Aufgabe 1 folgt dann, dass f : X × Y → Z genau
dann stetig ist, wenn für alle Folgen xλ → x, yλ → y schon f (xλ , yλ ) → f (x, y) folgt.
Aufgabe 2 (10 Punkte). Sei X ein topologischer Raum. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
(a) Je zwei Punkte in X besitzen disjunkte Umgebungen.
(b) Jeder Punkt in X ist der Durchschnitt seiner abgeschlossenen Umgebungen.
(c) Die Diagonale in X × X ist abgeschlossen.
(d) Kein Netz in X konvergiert gegen zwei verschiedene Punkte.
Der Raum X heißt dann Hausdorffsch. (Bemerkung: Metrische Räume sind Hausdorffsch.)
Aufgabe 3 (10 Punkte). Die gewöhnliche Topologie auf R2 werde fortgesetzt zu einer
Topologie auf R2 := R2 ∪ {∞} dadurch, dass die Mengen Uα , α ∈ A offene Umgebungen
von ∞ sind (sie bilden eine Umgebungsbasis von ∞), wobei:
Uα := {(x, y) ∈ R2 | x > cα , y > fα (x)} ∪ {∞}
A := {(cα , fα ) | cα ∈ R, fα : R → R stetig, streng monoton wachsend, unbeschränkt}
(a) Zeige, dass es keine Folge in R2 gibt, die gegen ∞ konvergiert.
(b) Konstruiere ein Netz in R2 , das gegen ∞ konvergiert.
Aufgabe 4 (10 Punkte). Sei Y ein vollständiger metrischer Raum und X ⊆ Y eine
Teilmenge. Zeige, dass die Vervollständigung X̂ isometrisch isomorph zum Abschluss X̄
von X ist. (Teil des Beweises von Satz 1.12)