Übungsblatt 7

Analysis 2: Alberto Cattaneo
FS 2009
Übungsblatt 7
Abgabetermin: Mittwoch, 29.April bis 10 Uhr in die Ablagefächer über den Briefkästen in
Y27K. Der Herleitungsweg von Resultaten muss übersichtlich und vollständig sein. Die Antworten müssen begründet sein. Bitte die Lösungen leserlich schreiben!
Aufgabe 1. Ein topologischer Raum ist ein Tupel (X, O) mit
• X einer Menge und
• O einer Menge von Teilmengen von X,
so dass die folgenden Axiome erfüllt sind:
1.) ∅ ∈ O und X ∈ O,
2.) für Õ ⊂ O beliebig gilt
S
U ∈Õ
U ∈ O,
3.) für U , V ∈ O beliebig gilt U ∩ V ∈ O.
Eine solche Menge von Teilmengen O nennt man ein System offener Mengen. Teilmengen
von X welche in O enthalten sind nennt man offen.
Die offenen Mengen eines metrischen Raumes, die Sie in der Vorlesung kennen gelernt
haben, bilden ein System offener Mengen, d.h. die Axiome 1.), 2.) und 3.) sind erfüllt.
(a) Sei (X, O) ein topologischer Raum. Eine offene Menge U wird als offene Umgebung
von x ∈ X bezeichnet, falls x ∈ U . Man sagt eine Folge (xn )n∈N in X konvergiert
gegen x ∈ X falls in jeder offene Umgebung von x fast alle Glieder der Folge
(xn )n∈N liegen.
Sei Z eine beliebige Menge. Zeigen Sie:
(i) {∅, Z} ist ein System offener Mengen.
(ii) Bezüglich dieser Topologie konvergiert jede Folge in Z gegen jeden Punkt in
Z.
(b) Seien (X, O) und (Y, U) zwei topologische Räume. Eine Abbildung f : X → Y ist
stetig falls
∀U ∈ U : f −1 (U ) ∈ O.
Sei Z eine beliebige Menge und g : X → Z eine Abbildung. Zeigen Sie:
(i) V := {U ⊂ Z : g −1 (U ) ∈ O} ist ein System offener Mengen.
(ii) g ist als Abbildung von (X, O) nach (Z, V) stetig.
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Analysis 2: Alberto Cattaneo
FS 2009
(iii) Sei Ṽ ein System offener Mengen für Z, so dass für jede Abbildung φ : Z → Y
von (Z, Ṽ) in einen beliebigen topologischen Raum (Y, U) gilt:
φ ist stetig ⇔ φ ◦ g ist stetig.
Dann ist notwendigerweise Ṽ gleich V.
(c) Sei (X, O) ein topologischer Raum, so dass jede Abbildung von R nach X stetig
ist. Beweisen Sie, dass O = {∅, X}.
Aufgabe 2.
(a) Zeigen Sie, dass d(x, y) =
|x−y|
1+|x−y|
eine Metrik auf R ist.
(b) Zwei Folgen (xj )j≥1 und (yj )j≥1 heissen gleich, falls xj = yj , für alle j ≥ 1. Sei X
die Menge aller Folgen in R. Zeigen Sie, dass
∞
X
1 |xj − yj |
D((xj ), (yj )) =
2j 1 + |xj − yj |
j=1
eine Metrik auf X ist. Ist der metrisch Raum (X, d) vollständig?
Aufgabe 3. Sei X = {(xj )j≥1 | sup |xj | < ∞} die Menge aller beschränkten, reellen
Zahlenfolgen. X ist mit der komponentenweise definierten Addition und Multiplikation
mit einer reellen Zahl ein Verktorraum.
a) Zeigen Sie:
||x||∞ = sup |xj |,
x∈X
j≥1
ist eine Norm auf X.
b) Sei d(x, y) = ||x − y||∞ die von dieser Norm erzeugte Metrik. Zeigen Sie: die Einheitssphäre S ∞ = {x ∈ X| ||x||∞ = 1} ist abgeschlossen und beschränkt, aber
nicht kompakt.
Aufgabe 4. Entscheiden Sie, ob die Teilmenge
M = {(x, sin(1/x)) | x > 0} ∪ {(0, y) | y ∈ R} ⊂ R2
zusammenhängend bzw. wegzusammenhängen ist.
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