Blatt 1

Prof. Dr. Jürgen Saal
Dr. Florian Zanger
12. April, Sommersemester 2016
Einführung in die Funktionalanalysis, Aufgabenblatt 1
[8 Punkte] (Diskrete Metrik)
Wir betrachten eine nichtleere Menge E ausgestattet mit der durch
Aufgabe 1.1 K
(
1, x 6= y,
, x, y ∈ E,
d(x, y) :=
0, x = y,
denierten diskreten
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Metrik d : E × E → [0, ∞). Zeigen Sie:
Eine Folge in E ist genau dann konvergent, wenn es einen Index gibt, ab dem
sie konstant ist.
E ist vollständig.
Eine Kugel in E ist entweder eine Einpunktmenge oder gleich dem gesamten
Raum E .
Jede Teilmenge von E ist sowohl oen als auch abgeschlossen.
Sind M ein beliebiger metrischer Raum und f : E → M , so ist f stetig. (Hinweis:
Sind N, M metrische Räume und f : N → M eine Funktion, so kann Stetigkeit
wie folgt deniert werden: Für jede oene Menge U ⊂ M ist das Urbild f −1 (U )
oen in N .)
[8 Punkte] (Gewichteter Abstand)
Seien a, b ∈ R mit a < b und g ∈ C([a, b]) mit g(t) 6= 0 für alle t ∈ [a, b]. Für
x, y ∈ C([a, b]) sei
Aufgabe 1.2 K
dg (x, y) := max |g(t) (x(t) − y(t))| .
a6t6b
(Hinweis: C([a, b]) = {x : [a, b] → K; x stetig}, wobei K ∈ {R, C}.)
(a)
(b)
(c)
Zeigen Sie, dass dg eine Metrik auf C([a, b]) ist.
Zeigen Sie, dass eine Folge in C([a, b]) genau dann konvergent bzgl. dg ist, wenn
sie gleichmäÿig konvergent ist.
Zeigen Sie, dass C([a, b]) ausgestattet mit der Metrik dg vollständig ist.
Die Aufgaben 1.3 und 1.4
sind auf der Rückseite.
Einwurf mit Deckblatt getackert bis 19.04.16,
16:00 in den Briefkasten gegenüber von Raum 25.22.00.58
Einführung in die Funktionalanalysis, Rückseite Aufgabenblatt 1
Diese Aufgabe wird nicht korrigiert.
(Unendliches kartesisches Produkt)
Für jedes n ∈ N sei (Mn , dn ) ein metrischer Raum. Wir betrachten das unendliche
kartesische Produkt
Y
Aufgabe 1.3
E :=
Mn
n∈N
ausgestattet mit
d(x, y) :=
(a)
(b)
(c)
∞
X
dn (xn , yn )
1
,
n 1 + d (x , y )
2
n n n
n=1
x, y ∈ E.
Zeigen Sie, dass (E, d) ein metrischer Raum ist.
Zeigen Sie, dass Konvergenz in E gleichbedeutend mit komponentenweiser Konvergenz ist.
Zeigen Sie, dass E genau dann vollständig ist, wenn alle Mn vollständig sind.
Diese Aufgabe wird nicht korrigiert.
(Hölder-Räume)
Seien (M, d) ein metrischer Raum und α ∈ (0, 1]. Für f : M → K (wobei K ∈ {R, C})
sei
Aufgabe 1.4
kf kα := sup
s6=t
und damit
|f (t) − f (s)|
d(t, s)α
C α (M ) := C α (M, K) := {f : M → K; kf kα < ∞}
der Raum der Hölder-stetigen Funktionen. Für festes m ∈ M denieren wir
kf k := kf kα + |f (m)| ,
(a)
(b)
(c)
f ∈ C α (M ).
Zeigen Sie, dass k·kα keine Norm auf C α (M ) ist.
Zeigen Sie, dass k·k eine Norm auf C α (M ) ist.
Zeigen Sie, dass C α (M ) mit k·k als Norm vollständig, d. h. ein Banach-Raum ist.
Einwurf mit Deckblatt getackert bis 19.04.16,
16:00 in den Briefkasten gegenüber von Raum 25.22.00.58