Ubungen zur Funktionalanalysis Serie 1 vom

Universität Basel
Departement Mathematik und Informatik
Dr. Armin Schikorra
Dominik Himmelsbach
Übungen zur
Funktionalanalysis
Serie 1 vom 18.02.2015
Für eine kontinuierliche Verbesserung der Vorlesung haben Sie hier die Möglichkeit einer Meinungsabgabe
Diese Übung ist zu leicht (1), zu schwierig (5)
Diese Übung ist langweilig (1), interessant (5)
Die letzte Vorlesung war unverständlich (1), verständlich (5)
Die letzte Vorlesung war langweilig (1), interessant (5)
Kommentare zur Verbesserung:
1
2
3
4
5
Wir haben für Mengen X das Konzept eines metrischen Raumes (X, d) kennengelernt. (X, d) ist ein metrischer Raum,
falls d : X × X → [0, ∞) eine Metrik ist, d.h. falls für alle x, y, z ∈ X gilt
• d(x, y) = 0 ⇔ x = y (Positivität)
• d(x, y) = d(y, x) (Symmetrie)
• d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (Dreiecksungleichung)
Dann hatten wir die Definition einer Norm k · k : X → [0, ∞) auf einem linearen (R)-Vektorraum gegeben
• kxk = 0 ⇔ x = 0 (Positivität)
• kλxk = |λ|kxk (positive Homogeneität)
• kx + yk ≤ kxk + kyk (Dreiecksungleichung)
Sei X = Rn . Seien d0 , d1 , d2 , d∞ für x = (x1 , . . . , xn ) und y = (y1 , . . . , yn ) definiert als

P
1


0 falls x = y
(iii) d2 (x, y) := nj=1 |x j − y j |2 2
(i) d0 (x, y) := 

1 falls x , y
P
(ii) d1 (x, y) := nj=1 |x j − y j |
(iv) d∞ (x, y) := max j=1,...,n |x j − y j |
Aufgabe 1
Zeigen Sie, dass (X, d0 ), (X, d1 ), (X, d2 ), (X, d∞ ) metrische Räume sind.
Die Abgabe der Sternchenaufgabe ist freiwillig
Sei S ⊂ Rn eine kompakte Teilmenge. Die Hausdorff-Metrik ist definiert auf der Menge
*Aufgabe 2
A , ∅, A abgeschlossen ,
X := A ⊂ S :
und für A, B ∈ X gilt
(
)
d(A, B) := max sup inf |a − b|, sup inf |a − b|
b∈B a∈A
a∈A b∈B
(i) Zeigen Sie, dass (X, d) ein metrischer Raum ist.
(ii) Ist die Abgeschlossenheit dafür notwendig? D.h. ist auch (X̃, d) ein metrischer Raum?
X̃ := {A ⊂ S :
Aufgabe 3
A , ∅} ,
Sei X = Rn und sei 0 der Ursprung von Rn . Seien d0 , d1 , d2 , d∞ wie oben. Wir setzen
kxki := di (x, 0) i = 0, 1, 2, ∞.
(i) Für welche i ∈ {0, 1, 2, ∞} ist kxki eine Norm auf Rn ?
(ii) Für welche p ∈ Rn gelten diese Aussagen auch für k| · k|i definiert als
k|xk|i := di (x, p)
i = 0, 1, 2, ∞.
(iii) Finden Sie alle linearen, normierten Vektorräume (V, k · kV ), für die gilt kx − ykV = d0 (x, y).
Ein (reeller) Prä-Hilbertraum ist ein Vektorraum X zusammen mit einem Skalarprodukt h·, ·i : X × X → R ein Skalarprodukt, d.h. für alle x, y, z ∈ X, λ ∈ R:
• hx, xi ≥ 0
• hx, xi = 0 ⇔ x = 0
• hx, yi = hy, xi
• hx, λyi = λhx, yi
• hx, y + zi = hx, yi + hx, zi
Aufgabe 4
Sei (X, h·, ·i) ein Prä-Hilbertraum.
Zeigen Sie, dass
kxkX :=
p
hx, xi
eine Norm ist. Für die Dreiecks-Ungleichung dürfen Sie (ohne Beweis) die Cauchy-Schwarz-Ungleichung
p
p
hx, yi ≤ hx, xi hy, yi
verwenden.