Geometrische Maßtheorie (WS 2009/2010) Übungsblatt 4 (freiwillig)

PD Dr. Daniel Hug
Dr. Steffen Winter
Karlsruher Institut für Technologie
Institut für Algebra und Geometrie
Geometrische Maßtheorie (WS 2009/2010)
Übungsblatt 4 (freiwillig)
Aufgabe 1
Seien (X, d) ein metrischer Raum, µ ∈ M(X) und A ⊂ X. Eine Familie abgeschlossener Mengen
F in X heißt eine µ-angepasste Überdeckung von A, falls zu jeder offenen Menge U ⊂ X eine
abzählbare, disjunkte Teilfamilie G von F existiert mit
!
[
[
G⊂U
und
µ U ∩A\
G = 0.
G∈G
G∈G
Zeigen Sie: Sei Ai ⊂ X für i ∈ N. Ist F eine µ-angepasste
Überdeckung von Ai für jedes i ∈ N,
S
so ist F eine µ-angepasste Überdeckung von i∈N Ai .
Aufgabe 2
Seien (X, d) ein metrischer Raum und V ⊂ {(x, S) : x ∈ S, S ∈ B(X)}. Die Mengen aus V (X)
seien beschränkt und abgeschlossen und
inf{diam(S) : (x, S) ∈ V } = 0
für alle x ∈ X.
Für ein t > 1 und µ-fast-alle x ∈ X gelte
S
µ( SSt )
< ∞.
0 ≤ V − lim sup diam(S) +
µ(S)
S→x
Zeigen Sie, dass V eine µ-Vitali-Relation ist.
Aufgabe 3 (Beweis des Überdeckungssatzes von Besicovitch)
1. Zeigen Sie, dass es eine Zahl N (n) ∈ N gibt, so dass gilt: Sind a1 , . . . , ak ∈ Rn und
r1 , . . . , rk > 0 mit
ai ∈
/ B(aj , rj ) für j 6= i
und
r
\
B(ai , ri ) 6= ∅,
i=1
dann ist k ≤ N (n).
2. Zeigen Sie, dass es Zahlen N1 (n), N2 (n) ∈ N mit den folgenden Eigenschaften gibt: Sei
F eine Familie abgeschlossener Bälle mit positiven Radien in Rn . Sei A die Menge der
Mittelpunkte dieser Bälle und ferner sup{r > 0 : B(x, r) ∈ F für ein x ∈ Rn } < ∞.
a) Dann gibt es eine abzählbare Teilfamilie Bi , i ∈ N, von F mit
X
1A ≤
1Bi ≤ N1 (n).
i≥1
b) Es gibt Teilfamilien B1 , . . . , BN2 (n) ⊂ F derart, dass Bi für jedes i ∈ {1, . . . , N2 (n)}
eine disjunkte Mengenfamilie ist und
N2 (n)
A⊂
[
[
i=1 B∈Bi
B.