technische universität münchen

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Zentrum Mathematik
Prof. Dr. D. Castrigiano
Dr. M. Prähofer
Mathematik 3 für Physik
(Analysis 2)
http://www-hm.ma.tum.de/ss10/ph2/
Sommersemester 2010
Blatt 3
(05.05.2010)
Zentralübung
15. Einheitskugel in der p-Norm
Skizzieren Sie U1 (0) ⊂ R2 bezüglich der von k · kp erzeugten Metrik für p = 1, 2, 4, ∞. Wie
lautet die analoge Menge für p = 21 ? Warum definiert k · k 1 keine Norm?
2
16. Produktmetrik
Seien (X, dX ), (Y, dY ) metrische Räume, d : (X × Y ) × (X × Y ) → R,
d((x, y), (x0 , y 0 )) := max{dX (x, x0 ), dY (y, y 0 )}.
Zeigen Sie, dass (X × Y, d) ein metrischer Raum ist.
17. Abgeschlossene Kugeln und Sphären
Sei (X, d) metrischer Raum, a ∈ X, r > 0.
(a) Die “abgeschlossene Kugel” Ũr (a) ist abgeschlossen.
(b) Die Sphäre S = {x ∈ X : d(x, a) = r} ist abgeschlossen.
(c) Ist X ein normierter Vektorraum mit induzierter Metrik, so gilt S = ∂Ur (a) = ∂ Ũr (a).
(d) Geben Sie Beispiele für metrische Räume, für die ∂Ur (a) ( S, bzw., ∂ Ũr (a) ( S.
Hinweis: Betrachten Sie z.B. Teilmengen des R2 .
18. Definition der Cantormenge
Sei C0 := [0, 1], Cn+1 = ( 13 Cn ) ∪ ( 23 + 31 Cn ), C :=
T
Cn . Man zeige:
n∈N0
(a) Cn+1 ⊂ Cn ,
(b) C ist abgeschlossen, nichtleer und selbstähnlich, C = ( 31 C) ∪ ( 23 + 31 C).
n
(c) Cn besteht
jeweils der Länge 3−n ,
n aus 2 disjunkten Intervallen, P 2ak an+1
Cn =
+ 3n : a ∈ {0, 1}n × [0, 1]
3k
k=1
∞
P 2ak
3k
k=1
(d) C =
:a∈
{0, 1}N
und besitzt überabzählbar viele Elemente.
Hausaufgaben
19. Vereinigung und Schnitt abgeschlossener Mengen
Sei (X, d) metrischer Raum.
(a) Die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.
(b) Der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.
(c) Es gibt abzählbar viele offene Intervalle in R, deren Durchschnitt nicht offen ist.
(d) Es gibt eine abzählbare Teilmenge von R, die nicht abgeschlossen ist.
(e) Es gibt abzählbar viele abgeschlossene Intervalle in R, deren Vereinigung nicht abgeschlossen ist.
20. Ränder
Man bestimme, mit Begründung, Inneres, Rand und Abschluss für
(a) ]a, b] ⊂ R,
(b) Q ⊂ R,
√
(d) ]0, 2[ ∩ Q ⊂ Q,
(c) R ⊂ C.
mit der jeweiligen Standardmetrik auf der Obermenge.
21. Eindeutigkeit des Grenzwerts, Berührpunkte
Sei (X, d) metrischer Raum.
(a) Für (xn ) in X, a, b ∈ X gilt: aus xn → a und xn → b folgt a = b.
(b) Sei Y ⊂ X. a ∈ X ist genau dann ein Berührpunkt von Y , wenn es eine Folge (xn ) in
Y gibt, mit xn → a.
22. Randpunkte der Cantormenge
Sei C0 := [0, 1], Cn+1 = ( 13 Cn ) ∪ ( 23 + 31 Cn ), C :=
T
n∈N0
S
Cn , R :=
∂Cn . Man zeige:
n∈N0
Hinweis: ∂Cn+1 = ( 13 ∂Cn ) ∪ ( 23 + 13 ∂Cn ).
n
P 2ak an+1
n+1
(b) Es ist ∂Cn = Rn :=
.
+ 3n : a ∈ {0, 1}
3k
(a) ∂Cn ⊂ ∂Cn+1 ,
k=1
(c) R ⊂ C enthält unendlich viele Punkte.
(d) R ist nicht abgeschlossen, R = C.
Abgabe der Hausaufgaben:
17.05.2010, bis 11:30 im Briefkasten oder zu Beginn der Zentralübung