6. ¨Ubungsblatt zur Topologie

Zentrum Mathematik
Technische Universität München
Prof. Dr. Josef Dorfmeister
WS 2004/05
6. Übungsblatt zur Topologie
(Korrigierte Version)
Aufgabe 1. (Lokalkompaktheit)
Sei X ein lokalkompakter Hausdorffraum, Y ein topologischer Raum und f : X −→ Y stetig,
offen und surjektiv. Zeigen Sie: Zu jedem abgeschlossenen Kompaktum K ⊂ Y existiert ein
Kompaktum C ⊂ X mit f (C) = K.
Aufgabe 2. (Normale Räume)
Sei X ein normaler Hausdorffraum. Seien A1 , . . . An ⊂ X abgeschlossen mit A1 ∩ . . . ∩ An = ∅.
Zeigen Sie: Es existieren offene Mengen U1 , . . . , Un ⊂ X mit Ai ⊂ Ui für alle i = 1, . . . , n und
U1 ∩ . . . ∩ Un = ∅.
Aufgabe 3. (Einbettung metrischer Räume)
Es soll gezeigt werden, dass sich jeder metrische Raum (X, d) isometrisch in einen normierten
Vektorraum einbetten lässt. Sei dazu (X, d) ein metrischer Raum und a ∈ X beliebig. Sei ferner
C(X) der Vektorraum aller stetigen und beschränkten Abbildungen von X nach R. Dieser wird
mit der Supremumsnorm versehen, das heißt, man definiert
kf k = sup {|f (x)|; x ∈ X}
für f ∈ C(X).
Dann ist C(X) insbesondere ein Metrischer Raum mit der Metrik
dsup (f, g) = kf − gk für f, g ∈ C(X).
a) Zu jedem x ∈ X definiert man eine Funktion fx : X −→ R durch
fx (y) = d(x, y) − d(a, y)
für alle y ∈ X.
Zeigen Sie, dass fx ∈ C(X).
b) Zeigen Sie: dsup (fx , fy ) = d(x, y) für alle x, y ∈ X. Dies bedeutet, dass der metrische Raum
(X, d), wenn man alle x mit fx identifiziert, als Teilmenge von C(X) betrachtet werden kann.
Aufgabe 4. (Hausdorff-Topologie II)
Sei (X, d) ein metrischer Raum. Hc (X, d) sei die Familie aller nichtleeren kompakten Teilmengen
von X, versehen mit der Hausdorff-Metrik dH (vgl. Übung 3, Aufgabe 1). Eine Abbildung
f : X → X heißt eine (strikte) Kontraktion, wenn ein s ∈ [0, 1[ existiert, so dass d(f (x), f (y)) ≤
s · d(x, y) für alle x, y ∈ X gilt. Kontraktionen sind stetig.
a) Zeigen Sie: Ist f eine Kontraktion von X, so ist
f˜ : Hc (X, d) −→ Hc (X, d)
f˜(A) = f (A) = {f (x); x ∈ A}
eine Kontraktion von Hc (X, d).
b) Zeigen Sie: Sind f˜, g̃ Kontraktionen von Hc (X, d), so ist auch
f˜ ∪ g̃ : Hc (X, d) −→ Hc (X, d)
(f˜ ∪ g̃)(A) = f˜(A) ∪ g̃(A)
eine Kontraktion von Hc (X, d).
(Hinweis: Für alle A, B, C, D ∈ Hc (X, d) gilt dH (A ∪ B, C ∪ D) ≤ max {dH (A, C), dH (B, D)} .
Das braucht hier nicht bewiesen zu werden.)
c) Sei nun X = R2 mit der üblichen Metrik. Die drei Abbildungen
f1 (x) = 21 x
f2 (x) = 21 x + (0, 12 )
f3 (x) = 21 x + ( 21 , 0)
sind Kontraktionen. Sei f˜ = f˜1 ∪ f˜2 ∪ f˜3 . Dies ist nach Aufgabenteil c) eine Kontraktion von
Hc (R2 , d). Zeichnen Sie einige der Iterationen f˜(A), f˜(f˜(A)), f˜(f˜(f˜(A))), . . ., wobei
A = (x1 , x2 ) ∈ R2 ; x1 , x2 ∈ [0, 1], x2 ≤ 1 − x1
(A ist ein Dreieck).
Was ist der (nach dem Banachschen Fixpunktsatz eindeutige) Fixpunkt der Kontraktion f˜?