Elemente der Topologie

Übungen zur Vorlesung
Elemente der Topologie
Blatt 1
Wintersemester 13/14
M. Joachim, F. Springer
Abgabe Donnerstag, den 31.10.2010
Aufgabe 1: Zeigen Sie:
(a) Ist (X, d) ein metrischer Raum, so ist auch das Paar (X, d′ ) mit
d′ : X × X −→ R+
0 , (x, y) 7→
d(x, y)
1 + d(x, y)
eine metrischer Raum.
(b) Eine Teilmenge im metrischen Raum (X, d) ist genau dann offen, wenn sie im metrischen
Raum (X, d′ ) offen ist.
Aufgabe 2:
(a) Zeigen Sie: In einem diskreten metrischen Raum ist jede Teilmenge offen.
(b) Es sei X eine Menge, und d und d′ seien zwei Metriken auf X. Die metrischen Räume
(X, d) und (X, d′ ) heißen äquivalent, falls es eine Konstante c ∈ R+ gibt, so dass für alle
x, y ∈ X gilt
1
· d(x, y) ≤ d′ (x, y) ≤ c · d(x, y).
c
Zeigen Sie: Ist X eine endliche Menge und d′ : X × X → R+
0 eine beliebige Abstandsfunktion auf X, so sind (X, d) und der zu X gehörige diskrete metrische Raum äquivalent.
Aufgabe 3: Es seien (X1 , d1 ) und (X2 , d2 ) zwei metrische Räume. Auf dem kartesischen
Produkt X1 × X2 definieren wir eine Funktion d : (X1 × X2 ) × (X1 × X2 ) → R+
0 durch
d((x1 , x2 ), (x′1 , x′2 )) = max{d1 (x1 , x′1 ), d2 (x2 , x′2 )}
Zeigen Sie:
(a) (X1 × X2 , d) ist ein metrischer Raum.
(b) Die Abbildungen pri : X1 × X2 → Xi , (x1 , x2 ) 7→ xi für i = 1, 2 sind stetig.
Aufgabe 4: Es sei p = 2, und dp bezeichne die p-adische Abstandfunktion auf Z.
(a) Bestimmen Sie die folgende Menge von ganzen Zahlen: B1/8 (35) ∩ 100.
(Zur Erinnerung: 100 die Menge der ganzen Zahlen von 1 bis 100.)
(b) Bestimmen Sie eine (bezüglich der p-adischen Metrik) konvergente Folge (xn )n∈N von paarweise verschiedenen ganzen Zahlen.