Analysis II - Universität Regensburg

Prof. Dr. H. Garcke, D. Depner
NWF I - Mathematik
Universität Regensburg
SS 09
07.05.2009
Analysis II
Übungsblatt 3
Abgabe: 15.05.2009, 08:10 Uhr (in den Übungskästen)
Aufgabe 9
Sei (X, d) ein metrischer Raum und M ⊂ X. Zeigen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen:
(i) M ist abgeschlossen.
(ii) Für jede konvergente Folge (xn )n∈N mit xn ∈ M gilt lim xn ∈ M .
n→∞
Hinweis: Zeigen Sie zunächst die Äquivalenz folgender Aussagen:
(a) Es existiert eine Folge (xn )n∈N mit xn ∈ M und xn → x.
(b) x ∈ M .
Aufgabe 10
Sei R versehen mit der üblichen Topologie und sei M = (0, 1] ∪ {2}. Entscheiden Sie, ob die
folgenden Mengen relativ offen bzw. relativ abgeschlossen sind bezüglich M und beweisen Sie
Ihre Antwort.
(1) N1 = (0, 21 ],
(2) N2 = [ 21 , 1), (3) N3 = ( 12 , 1],
(4) N4 = (0, 1) ∪ {2}, (5) N5 = (0, 1], (6) N6 = {2}.
Aufgabe 11
Sei X eine Menge und F (X) := {f : X → R} die Menge der Abbildungen von X nach R. Für
endlich viele Punkte x1 , . . . , xn aus X und ε > 0 definieren wir für f ∈ F (X)
Ux1 ,...,xn ; ε (f ) := {g ∈ F (X) |f (xk ) − g(xk )| < ε ∀k = 1, . . . , n} .
Wir sagen, eine Teilmenge U ⊂ F (X) heißt offen, wenn für alle f ∈ U ein ε > 0 und endlich
viele Punkte x1 , . . . , xn existieren, so dass Ux1 ,...,xn ; ε (f ) ⊂ U . Zeigen Sie, dass (F (X), T ) ein
topologischer Raum ist, wobei T := {U ⊂ F (X) | U ist offen }.
Zeigen Sie außerdem, dass Konvergenz in F (X) bezüglich T dasselbe ist wie punktweise Konvergenz, d.h. für eine Folge (fn )n∈N und f in F (X) gilt:
fn → f im top. Raum (F (X), T ) ⇐⇒ fn (x) → f (x) in R
∀x ∈ X .
Aufgabe 12
Sei (X, d) ein metrischer Raum. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch
sind und beweisen Sie Ihre Antwort.
(i) Sei M ⊂ X eine endliche Menge (d.h. M enthält nur endlich viele Elemente). Dann ist M
kompakt.
(ii) Jede Überdeckung einer kompakten Teilmenge K ⊂ X mit abgeschlossenen Mengen
enthält eine endliche Teilüberdeckung.
Viel Erfolg!