Präsenzaufgaben Blatt P1

Übungen zur Einführung in die Topologie
Uni Frankfurt, SoSe 2009
22./28./29. April
Prof. Dr. A. Werner
Dipl.-Math. M. Häbich
Präsenzaufgaben
Blatt P1
Aufgabe P1: Noch mehr Metriken
Auf der euklidischen Ebene R2 definieren
(
0
dPost (x, y) :=
kxk + kyk
(
kx − yk
dTGV (x, y) :=
kxk + kyk
wir die folgenden Abbildungen:
falls x = y,
sonst
falls x und y linear abhängig sind,
sonst
x1
Dabei bezeichnet kxk =
+
für x =
die euklidische Standardnorm auf R2 .
x2
Wir nennen dPost die Post-Metrik und dTGV die TGV-Metrik.
p
x21
x22
i) Zeigen Sie, dass dPost und dTGV tatsächlich Metriken sind, also R2 zu einem metrischen Raum machen.
ii) Skizzieren Sie für einige Punktkonfigurationen, wie die Post-Metrik und die TGVMetrik den Abstand zweier Punkte messen und erklären Sie damit die Bezeichnungen. Welche Rolle spielt in diesen Anschauungen jeweils der Ursprung?
iii) Skizzieren Sie die folgenden offenen Kugeln in R2 bezüglich der Post-Metrik, der
TGV-Metrik sowie der euklidischen Standardmetrik d(x, y) = kx − yk:
0
,
1. B1
0
1
,
2. B1
1
1
.
3. B2
1
Aufgabe P2: Äquivalenz von Metriken
Es sei X eine Menge und Metr(X) die Menge aller Metriken auf X.
Wir definieren eine Relation ∼ auf Metr(X) wie folgt:
d1 ∼ d2 :⇐⇒ für alle U ⊆ X gilt:
U ist offen bezüglich d1 genau dann, wenn U offen bezüglich d2 ist
i) Zeigen Sie: ∼ ist eine Äquivalenzrelation auf Metr(X).
ii) Sei X = R2 . Untersuchen Sie die drei Metriken aus Aufgabe P1 iii) sowie die
triviale Metrik
(
0 falls x = y
d(x, y) =
1 sonst
auf Äquivalenz untereinander. (Hinweis: Betrachten Sie kleine offene Kugeln.)
iii) Zeigen Sie: Ist X eine endliche Menge, so ist jede Metrik äquivalent zur trivialen
Metrik.