MMP I – HERBSTSEMESTER 2016 – PROF. DR. CHRISTOPH

MMP I – HERBSTSEMESTER 2016 – PROF. DR. CHRISTOPH KELLER
SERIE 5
1. Aufgabe: Hermitesche Polynome
Das n-te Hermite Polynom Hn (x), n ∈ N ist definiert durch
Hn (x) = (−1)n ex
2
dn −x2
e
.
dxn
Zeigen Sie:
(a) die Entwicklung
f (x, y) := e
2xy−y 2
∞
X
Hn (x) n
=
y .
n!
n=0
(b) die Rekursionsformeln
(i) Hn+2 (x) − 2xHn+1 (x) + 2(n + 1)Hn (x) = 0
(ii) Hn0 (x) − 2nHn−1 (x) = 0
(iii) Hn00 (x) − 2xHn0 (x) + 2nHn (x) = 0
für alle x ∈ R, n ∈ N.
2. Aufgabe: Umkehrsatz
Sei α ∈ C mit negativem Imaginärteil und n ≥ 2 eine ganze Zahl. Beweisen Sie
Z
xn−1 −iαx
1
eikx dk = 2πin H(x)
e
,
n
(n − 1)!
R (k + α)
wobei H die Heaviside–Funktion ist.
3. Aufgabe: Wellengleichung
Sei f ∈ C02 (R), g ∈ C01 (R) und c > 0 eine Konstante. Lösen Sie das Anfangswertproblem

∂2u
1 ∂2u

 c2 ∂t2 (t, x) = ∂x2 (t, x)
u(0, x) = f (x)

 ∂u
∂t (0, x) = g(x)
mittels Fourier–Transformation.
4. Aufgabe: Der Schwartzraum
Sei φ ∈ S(R). Entscheiden Sie, welche der folgenden Funktionen im Schwartzraum S(Rn ) liegen:
n
(a) f (x) = e−kxk
√ , x ∈2 R
(b) f (x) = e− 1+kxk , x ∈ Rn
(c) f (x) = φ(x)
x , x∈R
(d) f (x) =
(e) f (x) =
(f) f (x) =
x21 +···+x2n
, x ∈ Rn .
cosh(x21 +···+x2n )
2
2
eR−x1 +x1 x2 −x2 , x ∈ R2
x
φ(t)dt, x ∈ R
−∞
1
2
MMP I – HERBSTSEMESTER 2016 – PROF. DR. CHRISTOPH KELLER
SERIE 5
5. Aufgabe: Die Topologie des Schwartzraumes
(a) Beweisen Sie Lemma 5.1 aus der Vorlesung, d.h. zeigen Sie, dass für alle k, l ∈ N = {0, 1, . . . }
der Ausdruck
kφkk,l = max{kφkα,β : kαk ≤ k, kβk ≤ l},
kφkα,β = sup{|xα ∂ β φ(x)| : x ∈ Rn }
eine Norm auf dem Schwartzraum S(Rn ) definiert.
(b) Zeigen Sie, dass die Lp –Norm, p ∈ [1, ∞), ebenfalls eine Norm auf S(Rn ) definiert.
(c) Im Skript wurde mittels Definition 5.3 eine Topologie auf dem Schwartzraum definiert. Mit Methoden der Funktionalanalysis kann man zeigen, dass diese Topologie von keiner Norm induziert
wird. Wir wollen diese Tatsache an zwei Beispielen nachvollziehen:
(i) Finden Sie für alle k, l ∈ N eine Funktionenfolge (fn ) im Schwartzraum S(R), sodass
fn → 0 (n → ∞) bezüglich k · kk,l aber nicht fn → 0 (n → ∞) bezüglich der Schwartzraumtopologie.
(ii) Finden Sie eine Funktionenfolge (fn ) im Schwartzraum S(R), sodass fn → 0 (n → ∞)
bezüglich k·kLp für alle p ∈ (1, ∞) aber nicht fn → 0 (n → ∞) bezüglich der Schwartzraumtopologie.
Diese Situation steht im Gegensatz zu endlichdimensionalen Vektorräumen, für die alle Normen
äquivalent sind. Vergewissern Sie sich dieser Aussage noch einmal.
Hinweis : Als Vorbereitung für den Beweis der Existenz einer Zerlegung der Eins zeigt man,
dass es C ∞ Funktionen mit kompaktem Träger gibt, die auf einem Intervall konstant gleich 1
sind. Solche Funktionen sind hier nützlich.