Geometrie und Topologie

Geometrie und Topologie
Übungszettel 01
Abgabe: Donnerstag, 27.4., 10:00 Uhr
(ins Postfach Ihres Tutors)
Jede Aufgabe ist fünf Punkte wert. Paarweise Abgabe ist gestattet. In diesem Fall soll
jeder Partner die Hälfte der Aufgaben aufschreiben. Es ist für jede Aufgabe kenntlich
zu machen, wer die redaktionelle Verantwortung trägt.
Aufgabe 1. Zeige oder widerlege: Auf einer Menge Y seien zwei Topologien S und
T definiert. Es gibt genau eine Topologie R auf Y , sodaß für jeden topologischen
Raum X und jede Abbildung f : X → Y gilt: f ist stetig bezüglich R genau dann,
wenn f stetig bezüglich S oder stetig bezüglich T ist.
Aufgabe 2. Sei (X, d) ein metrischer Raum und A ⊆ X eine Teilmenge. Sei TX die
auf X durch die Metrik induzierte Topologie und TA die von TX auf A induzierte
Relativtopologie. Sei dA die Einschränkung der Metrik d auf A. Dann ist (A, dA ) ein
metrischer Raum. Sei SA die dadurch induzierte Topologie auf A. Entscheide, ob TA
und SA gleich sind. Falls nicht, kann man immer noch festellen, daß TA stets feiner
(oder gröber) ist als SA ? warum?
Aufgabe 3. Wir betrachten die Ebene R2 mit der bekannten Topologie. Sei
x
2
2
x +y =1
S :=
y
der Einheitskreis, und sei T die Relativtopologie, die S vom R2 erbt.
Die Abbildung
f : R −→ S
cos(t)
t 7→
sin(t)
ist surjektiv. Auf R betrachten wir die bekannte Topologie. Sei S die dadurch definierte Finaltopologie auf S. Zeige oder widerlege: T = S.
Aufgabe 4. Zähle die Topologien auf einer drei-elementigen Menge. Begründe die
Antwort.