2 . ¨Ubung zur Topologie - Institut für Mathematik

Universität Würzburg
Mathematisches Institut
Dr. J. Jordan
Sommersemester 2015
20.04.2015
2 . Übung zur Topologie
2.1 Es sei (X, d) ein metrischer Raum und x0 ∈ X. Zeigen Sie, dass die Funktion
f : X → R, x 7→ d(x, x0 )
stetig ist.
2.2 Man zeige: R2 versehen mit der natürlichen Topologie ist homöomorph zum Teilraum
{(x, y) ∈ R2 | y 6= 0 oder x < 0}.
2.3 (Zariski Topologie)
Es sei K ein Körper. Auf Kn wird folgende Topolgie OZariski erklärt: A ⊂ Kn ist
abgeschlossen,
falls es eine Menge von Polynomen M ⊂ K[x1 , . . . , xn ] gibt, so dass
T
A = p∈M p−1 ({0}).
a) Überzeugen Sie sich, dass hierdurch eine Topologie auf Rn definiert wird.
b) Nun sei K = R und n = 1. Charakterisieren Sie alle dichten Teilmengen von R
bezüglich der Zariski Topologie.
c) Nun sei K = R und n ∈ N. Zeigen Sie, dass die Zariski Topologie gröber ist, als
die natürliche Topologie auf Rn .
d) Untersuchen Sie, ob die Funktion (x, y) 7→ xy stetig ist (bezüglich der Zariski
Topologie im Bild und Urbildraum).
Hinweis: