Zürich, 03.04.2008 Universität Zürich Thomas Foertsch Anna Mätzener Johannes Meyer 6. Übung zur Einführung in die Topologie Aufgabe 1 Zeigen Sie, dass die Verträglichkeitsrelation auf der Menge der Atlanten einer gegebenen Mannigfaltigkeit eine Äquivalenzrelation ist. 4 Punkte Aufgabe 2 Betrachten Sie eine Menge M , die nicht notwendigerweise mit einer Topologie versehen ist. Es seien ϕi : Ui −→ Oi , i ∈ I, bijektive Abbildungen von Teilmengen Ui ⊂ M von M auf die offenen Teilmengen k n Oi ⊂ Rn des Rn . Ausserdem gelte (ϕi ◦ ϕ−1 j )|ϕj (Ui ∩Uj ) ∈ C (ϕj (Ui ∩ Uj ), R ) S für alle i, j ∈ I und i Ui = M . Der Menge A = {(Ui , ϕi ) | i ∈ I} werde das Mengensystem OA := {O ⊂ M | ϕi (O ∩ Ui ) ist offen für alle i ∈ I} zugeordnet. (a) Zeigen Sie, dass OA eine Topologie auf M ist. Diese Topologie wird als die von A auf M induzierte Topologie bezeichnet. (b) Zeigen Sie ferner, dass für ein zweites System B = {(Vj , ψj ) | j ∈ J} mit entsprechenden Eigenschaften der (Vi , ψi ), für das (ψj ◦ ϕ−1 i )|ϕi (Ui ∩Vj ) −1 und (ϕi ◦ ψj )|ψj (Vj ∩Ui ) für alle (i, j) ∈ I × J von der Klasse C k sind, OA = OB . 4 Punkte 1 Aufgabe 3 Beweisen Sie die Behauptung: Sei G eine Gruppe, die auf der Mannigfaltigkeit M frei und diskontinuierlich operiert. Dann existiert zu jedem Punkt p ∈ M eine Umgebung Up , so dass g(Up ) ∩ Up = ∅ ∀g ∈ G \ {e} gilt. 4 Punkte Abgabe: Donnerstag, den 10. April - vor der Vorlesung. 2