Sei J ein Ultrafilter

Topologie (10480-01)
Blatt 7
Universität Basel im FS 2015
Prof. Dr. P. Habegger
Aufgabe 1 (4 + 2 Punkte). Sei F ein Ultrafilter auf einer Menge X.
(i) Seien A, B ⊆ X mit A ∪ B ∈ F. Zeigen Sie, dass A ∈ F oder B ∈ F gelten muss.
(ii) Zeigen Sie, dass F fixiert ist, falls er eine endliche Menge enthält.
Aufgabe 2 (4 Punkte). Wo scheitert die folgende Argumentation, die begründen soll,
dass [0, 1] total unzusammenhängend ist?
Sei X = {0, 1, . . . , 9}N das abzählbar unendliche Produkt des diskreten Raumes {0, 1, . . . , 9}. Aus der Vorlesung (Beweis Korollar
2.36) wissen wir, dass die durch
∞
X
ai
f (a1 , a2 , . . .) =
10i
i=1
definierte surjektive Abbildung f : X → [0, 1] stetig ist. Der Raum
X ist total unzusammenhängend, da jeder Faktor {0, 1, . . . , 9} die
diskrete Topologie trägt. Weiterhin ist eine bijektive und stetige Abbildung zwischen einem kompakten Raum und einem Hausdorffraum ein Homöomorphismus. Wegen Tychonoff ist X kompakt und [0, 1] ist bekanntlich ein Hausdorffraum. Also sind die
beiden Räume homöomorph und daher ist [0, 1] total unzusammenhängend.
Aufgabe 3 ((2 + 2) + (2 + 2) Punkte). Für einen topologischen Raum X und für
x ∈ X bezeichnen wir mit U(x) die Menge aller Teilmengen A ⊆ X, für die es eine
Umgebung U von x gibt, die U ⊆ A erfüllt. Wir nennen U(x) den Umgebungsfilter
von x.
(i) Sei Y ein weiterer topologischer Raum und f : X → Y eine Abbildung. Zeigen Sie,
dass f genau dann stetig ist, wenn f∗ U(x) für alle x ∈ X gegen f (x) konvergiert.
Hierbei bezeichnet f∗ U(x) den Pushforward des Filters.
(ii) Zeigen Sie, dass X genau dann ein Hausdorffraum ist, falls die Grenzwerte von
Filtern eindeutig sind.
Aufgabe 4. (4 + 2 + 2 Punkte) Sei UF(N) die Menge aller Ultrafilter auf den natürlichen
Zahlen N = {1, 2, 3, . . .}. Für jede natürliche Zahl n bezeichnet Fn den fixierten Ultrafilter {M ⊆ N; n ∈ M } (vgl. Beispiel 2.38(i)).
(i) Sei M eine Teilmenge von N und
UM = {F ∈ UF(N); M ∈ F} .
Beweisen Sie UM ∩N = UM ∩ UN und UNrM = UF(N) r UM für alle Teilmengen
M, N ⊆ N.
2
(ii) Schliessen Sie aus (i), dass {UM ; M ⊆ N} eine Basis einer Topologie auf UF(N)
ist.
Ab jetzt betrachten wir UF(N) mit der Topologie, die von der Basis aus (ii) induziert
wird. Weiterhin betrachten wir N mit der diskreten Topologie.
(iii) Zeigen Sie, dass die durch ι(n) = Fn definierte Abbildung ι : N → UF(N) eine
Einbettung ist. (Hinweis: Beweisen Sie, dass {Fn } für jedes n ∈ N eine offene
Teilmenge von UF(N) ist.)
Abgabe am 30. April 2015 um 12 Uhr.