1 Produkttopologien

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1 Produkttopologien
Wir erinnern zunächst an den Begriff einer Basis eines topologischen Raumes:
1.1 Definition Sei (X, O) ein topologischer Raum. Dann heißt eine Teilmenge B ⊆ O
Basis der Topologie O, wenn jede offen Menge von (X, O) als Vereinigung von Mengen
aus B geschrieben werden kann, d.h. für jedes x ∈ O ∈ O existiert ein U ∈ B, so
dass x ∈ U ⊆ O gilt. Man erinnere sich daran, dass eine Basis die Topologie eindeutig
festlegt, also zwei Topologien schon übereinstimmen, wenn sie dieselbe Basis besitzen.
Für die 2. Übung benötigen Sie die Definition einer Produkttopologie:
1.2 Definition Q
Sei (Xi , Oi )i∈I eine Familie von topologischen Q
Räumen, und ihr kartesisches Produkt i∈I Xi , zusammen mit den Projektionen πk : i∈I Xi → Xk , (xi )i∈I 7→
xk . Wir versehen nun X mit der Topologie O, welche durch die Basis
(
)
\
−1
B :=
πk (Ok ) | Ok ∈ Ok und K ⊆ I ist endlich
k∈K
gegeben ist. Für diese Topologie sind insbesondere alle πk stetige
Q Abbildungen. Sie
dürfen ohne Beweis verwenden, dass eine Abbildung f : Y → i∈I Xi genau dann
stetig ist, wenn für jedes i ∈ I die Abbildung πi ◦ f stetig ist.
Sollten Sie mehr zur Produkttopologie erfahren wollen, so können Sie sich unter
anderem in dem Buch
Querenburg, B.v.: Mengentheoretische Topologie, Berlin u.a. 3 2009
über dieses Thema informieren. (hier Kapitel 3A) Das Buch ist in der Paderborner
Bibliothek vorhanden.
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