1 Produkttopologien Wir erinnern zunächst an den Begriff einer Basis eines topologischen Raumes: 1.1 Definition Sei (X, O) ein topologischer Raum. Dann heißt eine Teilmenge B ⊆ O Basis der Topologie O, wenn jede offen Menge von (X, O) als Vereinigung von Mengen aus B geschrieben werden kann, d.h. für jedes x ∈ O ∈ O existiert ein U ∈ B, so dass x ∈ U ⊆ O gilt. Man erinnere sich daran, dass eine Basis die Topologie eindeutig festlegt, also zwei Topologien schon übereinstimmen, wenn sie dieselbe Basis besitzen. Für die 2. Übung benötigen Sie die Definition einer Produkttopologie: 1.2 Definition Q Sei (Xi , Oi )i∈I eine Familie von topologischen Q Räumen, und ihr kartesisches Produkt i∈I Xi , zusammen mit den Projektionen πk : i∈I Xi → Xk , (xi )i∈I 7→ xk . Wir versehen nun X mit der Topologie O, welche durch die Basis ( ) \ −1 B := πk (Ok ) | Ok ∈ Ok und K ⊆ I ist endlich k∈K gegeben ist. Für diese Topologie sind insbesondere alle πk stetige Q Abbildungen. Sie dürfen ohne Beweis verwenden, dass eine Abbildung f : Y → i∈I Xi genau dann stetig ist, wenn für jedes i ∈ I die Abbildung πi ◦ f stetig ist. Sollten Sie mehr zur Produkttopologie erfahren wollen, so können Sie sich unter anderem in dem Buch Querenburg, B.v.: Mengentheoretische Topologie, Berlin u.a. 3 2009 über dieses Thema informieren. (hier Kapitel 3A) Das Buch ist in der Paderborner Bibliothek vorhanden. 1