X → Y eine Abbildung zwischen den topologischen Räumen X und

Analysis und Geometrie von Mannigfaltigkeiten
Serie 3
6. Sei f : X → Y eine Abbildung zwischen den topologischen Räumen
X und Y . Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
a) f ist stetig.
b) Das Urbild jeder abgeschlossenen Menge aus Y ist abgeschlossen
in X.
c) Ist βY eine Basis der Topologie von Y , so ist für jedes B ∈ βY
das Urbild f −1 (B) offen in X.
7. Seien X und Y topologische Räume, Y hausdorffsch und f : X → Y
eine stetige und surjektive Abbildung.
a) Zeigen Sie: Falls f injektiv ist, so ist X hausdorffsch.
b) Definieren Sie eine Äquivalenzrelation ∼f durch x ∼f y gdw.
f (x) = f (y). Zeigen Sie, dass der Raum X/ ∼f mit der Quotiententopologie bzgl. der kanonischen Projektion X → X/ ∼f
hausdorffsch ist.
8. Zeigen Sie
a) Sei (X, T ) ein topologischer Raum und A ⊆ X eine Teilmenge.
Sei ι : A → X die kanonische Einbettung von A in X, ι(x) = x.
Zeigen Sie: ι ist stetig bezüglich der Relativtopologie von A. Formulieren sie danach die Aussage neu, dass die Einschränkung
einer stetigen Abbildung auf eine Teilmenge mit der Relativtopologie stetig ist.
b) Zeigen Sie: Zwei Topologien T1 und T2 auf einer Menge X sind
genau dann gleich, wenn die identische Abbildung von X ein
Homöomorphismus ist.
9. Sei (X, T ) ein topologischer Raum. Sei
X∞ := X ∪ {∞} und
T∞ := T ∪ {(X \ A) ∪ {∞} | A ⊆ X abgeschlossen und kompakt}.
Zeigen Sie, dass dann gilt
a) (X∞ , T∞ ) ist ein topologischer Raum.
b) (X∞ , T∞ ) ist kompakt.
c) T ist die von X∞ auf X induzierte Topologie, d.h. T∞ |X = T .
(X∞ , T∞ ) heisst 1-Punkt-Kompaktifizierung von X, ∞ heisst unendlich ferner Punkt.