Montag, 04.11.13, bis 16 Uhr in dem A

Prof. Dr. L. Schwachhöfer
WS 2013/14
3. Übungsblatt zur Algebraischen Topologie
Abgabe: Montag, 04.11.13, bis 16 Uhr in dem Ablagefach
bei Raum 931, 9. OG
Aufgabe 1:
Seien X, Y topologische Räume und f : X → Y stetig. Zeigen Sie, dass folgende
Aussagen äquivalent sind.
a) Die Topologie auf Y ist die Quotiententopologie bzgl. f .
b) Für jede Abbildung g : Y → Z gilt:
g ist stetig genau dann, wenn g ◦ f : X → Z stetig ist.
Aufgabe 2:
Auf Rn sei die Äquivalenzrelation ∼ definiert als
x ∼ y ⇔ x − y ∈ Zn .
1
Zeigen Sie Rn /∼ mit der Quotiententopologie ist homöomorph zu S
. . × S}1 mit
| × .{z
n-Mal
der Produkttopologie.
Bemerkung: Dieser Raum wird auch als n-Torus Tn bezeichnet.
Aufgabe 3:
Sei X := {(an )n∈N | an ∈ R, ∃N, an = 0 für n ≥ N } die Menge
Q aller rellen abbrechenden Folgen, wobei X mit der Unterraumtopologie X ⊂ n∈N R versehen ist.
Zeigen Sie:
a) X ist zusammenziehbar, d.h. es gibt ein x0 ∈ X, so dass {x0 } ein Deformationsretrakt von X ist.
b) X\{0} ist zusammenziehbar.
Aufgabe 4:
Wir setzen als gegeben voraus, dass π1 (S 1 , x0 ) ∼
= (Z, +) für jedes x0 ∈ S 1 .
Sei f : S 1 → S 1 gegeben durch f (z) = z n , n ∈ Z. Bestimmen Sie den induzierten
Homomorphismus f∗ : π1 (S 1 , 1) −→ π1 (S 1 , 1).