Elementare Topologie

Dr. Simon G. Chiossi
Ergänzung
Elementare Topologie
EINIGE FAKTEN ÜBER TOPOLOGISCHE PRODUKTE
Definition. Sei {(Xα , Oα )}α∈I eine Familie von topologischen Räumen (mit card(I)
beliebig, obwohl
Q uns meistens endliche Produkte interessieren). Auf dem kartesischen
Produkt X := α∈I Xα
9 Xj
s
ss
ss
s
ss
ss πj
Y
X=
α∈I
Xα
KK πi
KK
KK
KK
KK
%
Xi
wird mittels der kanonischen Projektionen πα : X −→ (Xα , Oα ) die gröbste Topologie
konstruiert und Produkttopologie genannt. Äquivalent, die Produkttopologie ist die
Topologie mit den wenigsten offenen Mengen derart, dass alle πα stetig sind.
Eine typische Basismenge sieht dann so aus:
(
Uα ∈ Oα ,
Uα mit
Uα = Xα ,
α∈I
Y
α ∈ J für ein endliches J ⊂ I,
α ∈ I \ J.
D.h., U ist eine Umg. von {xα } ∈ X ⇐⇒ ∃ Uα 3 xα Umg.:
Q
α Uα
⊆ U.
Konsequenzen:
- ∀ Mα ⊆ Xα gilt
Q
α Mα
=
Q
α Mα
und Int(
Q
α Mα )
=
Q
α Int(Mα );
- πα sind offene Abbildungen;
- f : X1 × X2 −→ Z ist stetig um (x1 , x2 ), wenn für jede Umgebung Wf (x1 ,x2 ) es
existieren Umg. Ux1 , Vx2 sodass f (Ux1 × Vx2 ) ⊆ Wf (x1 ,x2 ) .
Q
Beispiel. Rn = ni=1 R
(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn
U(x1 ,...,xn ) = Ux1 × . . . × Uxn
= (a1 , b1 ) × . . . × (an , bn )
mit ai < xi < bi .
Satz. Seien (X1 , d1 ), (X2 , d2 ) metrische Räume. Dann ist (X1 × X2 , d) metrisch mit
p
d = sup{d1 , d2 } oder d = d21 + d22
In beiden Fällen ist die erzeugte metrische Topologie die Produkttopologie
O(d) = O(d1 ) × O(d2 ).
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Dr. Simon G. Chiossi
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Satz (universelle Eigenschaft). Seien {Xα }α∈I eine Familie von topologischen Räumen,
Z ein weiterer
Qtop. Raum und {fα : Z −→ Xα }α∈I eine Familie von Abbildungen. Setze f : Z −→ α∈I Xα definiert durch f (z) := (fα (z))α∈I .
Dann gilt:
f stetig ⇐⇒ alle fα stetig.
0 Xj
w;
w
w
ww
wwπi
w
w
fj
Z
f
/
Y
Xα
GG
GGπi
GG
GG
GG
#
. Xi
α∈I
fi
Bemerkung.
DerQSatz besagt, dass eine eindeutige stetige Abbildung existiert f :=
Q
α∈I fα : Z −→
α∈I Xα sodass πα ◦ f = fα .
Satz. Sei {(Xα ,Q
Oα )}α∈I eine Familie (weg-)zusammenhängender topologischer Räume.
Dann ist auch α∈I Xα (weg-)zusammenhängend.
Satz. f : Y −→ Z ist stetig ⇐⇒ 1 × f : Y −→ Y × Z, (1 × f )y := (y, f (y)), ist ein
Homöomorphismus auf den Graph Γf = {(y, z) ∈ Y × Z : z = f (y)}.
Korollar. f : R −→ R ist stetig ⇐⇒ Γf ≈ Dom(f ).
Der folgende Satz ist der wohl wichtigste Satz der mengentheoretischen Topologie
und gehört definitiv zu den wichtigsten Sätzen in der gesamten Mathematik.
Satz von Tychonoff. Die folgenden Aussagen1 sind äquivalent:
Q
Q
- Das Produkt ( α Xα , α Oα ) topologischer Räume {(Xα , Oα )}α∈I ist genau dann
kompakt, wenn jeder Faktor kompakt ist.
- Es gilt das Auswahlaxiom (oder das Zorn’sche Lemma, usw.)
(!!!)
Bemerkung. Für endliche Produkte benötigt man kein Auswahlaxiom, um den Satz
zu beweisen.
Einige Beispiele von Anwendungen:
• Funktionentheorie (Sätze von Heine-Borel, Minimum und Maximum, Banach–
Alaoglu, Arzelà–Ascoli),
• Algebra (C ∗ -Algebren, Darstellungssatz von Stone für Boole’sche Algebren, Ring
der formalen Potenzreihen)
• Maßtheorie (Existenz des Haarmaßes),
• Topologie (Stone-Čech-Kompaktifizierung),
• Logik (Endlichkeitssatz der Prädikatenlogik erster Stufe),
• Kategorietheorie, Graphentheorie, Nonstandard Analysis, . . .
1
Auf Basis der Axiome von Zermelo-Fraenkel
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