4. Übungsserie zur Vorlesung `Topologie`

4. Übungsserie zur Vorlesung Topologie“
”
Sommersemester 2015, PD Dr. Konrad Schöbel
Aufgabe 1
Beweisen Sie den Satz von Tychonoff für ein Produkt zweier topologischer Räume X
und Y ohne Zuhilfenahme des Auswahlaxioms.
Hinweis: Überlegen Sie sich zunächst, dass man sich auf Überdeckungen mit Basismengen beschränken kann. Überdecken Sie dann {x} × Y für ein festes x ∈ X. Gewinnen
Sie daraus eine in X offene Menge Ox und überdecken Sie anschließend X mit diesen
Mengen Ox .
Aufgabe 2
Untersuchen Sie die Abzählbarkeitskriterien für
(a) die Topologie mit ausgezeichnetem Punkt.
(b) die Topologie ohne ausgezeichneten Punkt.
(c) die kofinite Topologie.
(d) die koabzählbare Topologie.
Aufgabe 3
Verallgemeinern Sie die lexikographische Ordnung für beliebige (endliche, abzählbare
und überabzählbare) Produkte. Zeigen Sie, dass die lexikographische Ordnung auf endlichen Produkten wohlgeordneter Mengen eine Wohlordnung definiert, nicht aber für
unendliche Produkte.
Aufgabe 4
Zeigen Sie, dass folgende topologische Räume homöomorph sind:
(a) ω + 1, der Nachfolger des ersten unendlichen Ordinals
(b) N̂, die Alexandroff-Kompaktifizierung der natürlichen Zahlen
(c) {1, 21 , 13 , . . .} ∪ {0} ⊆ R mit der Teilraumtopologie
Aufgabe 5
Zeigen Sie folgende Eigenschaften der langen Geraden L:
(a) L ist zusammenhängend.
(e) L ist nicht metrisierbar.
(b) L ist wegzusammenhängend.
(f) L erfüllt das I. Abzählbarkeitskriterium.
(c) L ist nicht kompakt.
(g) L erfüllt nicht das II. Abzählbarkeitskriterium.
(d) L ist folgenkompakt.
Warum sind die lange und die kurze Gerade nicht homöomorph?
Abgabe in der Vorlesung am Montag, den 15. Juni 2015.