Blatt 8 - IWR Heidelberg

Übungen zur Einführung in die Geometrie:
Differentialgeometrie und Topologie
Sommersemester 2011
Universität Bayreuth
Mathematisches Institut
Prof. Dr. M. Dettweiler
Michael Schulte
Aufgabe 23.
Blatt 8
Abgabe: Di, den 28.6.2011, bis 14 Uhr
(4 Punkte)
a) Seien X, Y topologische Räume und A := {f : X −→ Y | f stetig }. Zeigen
Sie, dass
f ∼ g :⇐⇒ f homotop zu g
eine Äquivalenzrelation auf A ist.
b) Beweisen Sie, dass p : R −→ S1 mit t 7→ (cos t, sin t) eine Überlagerung ist.
Aufgabe 24.
(4 Punkte)
Zeigen Sie, dass R und R2 (jeweils mit der euklidischen Topologie) nicht homöomorph
sind. Gehen Sie dabei wie folgt vor:
a) Sind X, Y topologische Räume und x ∈ X, so induziert ein Homöomorphismus f : X −→ Y einen Homöomorphismus f |X\{x} : X \{x} −→ Y \{f (x)}.
b) Ist f : X −→ Y ein Homöomorphismus, so ist X genau dann zusammenhängend, wenn Y zusammenhängend ist.
c) R und R2 sind nicht homöomorph.
Aufgabe 25.
(4 Punkte)
Zeigen Sie, dass für einen topologischen Raum X folgende Aussagen äquivalent
sind:
(i) X ist zusammenhängend
(ii) Nur ∅, X sind in X abgeschlossen und offen.
(iii) Es gibt keine mindestens 2-elementige Menge Y mit der diskreten Topologie
und einer surjektiven stetigen Abbildung f : X −→ Y .
Die Übungsblätter sowie weitere Informationen zur Vorlesung
”Einführung in die Geometrie: Differentialgeometrie und Topologie”
finden Sie unter folgendem Link
http://www.zahlentheorie.uni-bayreuth.de/teaching/SS11-DiffGeoTopo.htm