Ubungsblatt 2 - Institut für Mathematik

Klaus Mohnke
Institut für Mathematik
Rudower Chaussee 25
Haus 1 Raum 306
Übungsblatt 2
Topologie Winter 2008/09
Abgabe 5.11.2008
Aufgabe 1 (Sorgenfrey-Linie)
Zeigen Sie, dass durch O ⊂ P(R) gegeben durch
[
O := ∅ ∪
[ai , bi ) ⊂ R − ∞ < ai < bi < +∞
i∈I
eine Topologie auf der Menge der Reellen Zahlen R definiert wird. Zeigen Sie, dass in (R, O) jede
Zusammenhangskomponente nur aus einem Punkt besteht.
Aufgabe 2 (Hausdorff-Eigenschaft)
Sei (X, O) ein topologischer Raum. Zeigen Sie das folgende Bedingungen äquivalent sind.
(i) (X, O) ist ein T2 -Raum.
(ii) Die Diagonale ∆ := {(x, x) | x ∈ X} ⊂ X × X ist abgeschlossen bzgl. der Produkt-Topologie.
T
(iii) Für jedes x ∈ X gilt
U = {x}.
x∈U ∈O
Aufgabe 3
Sei f : B 2 −→ B 2 = {z ∈ C2 | kzk ≤ 1} eine stetige Abbildung mit f (z) = z für alle z ∈ S 1 =
{z ∈ 2 | kzk = 1}. Zeigen Sie, dass f eine Nullstelle hat, d.h. f (x) = 0 für ein x ∈ B 2 .
Die folgenden Aufgaben werden in der Übung am 29.10. behandelt:
Aufgabe 4 (Charakterisierung von Basen)
a) Sei (X, O) ein topologischer Raum mit einer Basis B. Zeigen Sie:
(i) Seien B1 , B2 ∈ B und x ∈ B1 ∩ B2 , dann existiert B ∈ B mit x ∈ B ⊂ B1 ∩ B2 .
(ii) Zu jedem x ∈ X existiert ein B ∈ B mit x ∈ B.
b) Sei B ⊂ P(X) eine Teilmenge
mit
der Potenzmenge
den Eigenschaften (i) und (ii) aus a).
S
Zeigen Sie, dass dann O = ∅ ∪
B
B
∈
B
eine Topologie auf X definiert.
i
i i
Aufgabe 5 (Zusammenhangskomponenten)
Eine Zusammenhangskomponente eines topologischen Raumes ist eine maximale zusammenhängende Teilmenge K ⊂ X: K ist zusammenhängend und jede echte Obermenge M , K ⊂ M und K 6= M ,
ist nicht zusammenhängend. Zeigen Sie, dass jede Zusammenhangskomponente abgeschlossen ist
und das zwei Zusammenhangskomponenten entweder identisch oder disjunkt sind. Gibt es topologische Räume mit Zusammenhangskomponenten, die nicht offen sind?
Bitte wenden...
Aufgabe 6
(1) Zeigen Sie, dass {(x, sin( x1 ) | x > 0} ∪ {0} × [−1, 1] ⊂ R2 mit der Teilraumtopologie zusammenhängend aber nicht wegzusammenhängend ist.
(2) Finden Sie ein Beispiel für eine nicht abgeschlossene Wegzusammenhangskomponente in einem
topologischen Raum.
(3) Zeigen Sie, dass die Menge der invertierbaren Matrizen Gl(n; K) ⊂ M (n; K) (mit der Teilraumtopologie) nicht zusammenhängend ist für K = R aber zusammenhängend für K = C.
Aufgabe 7
X sei ein kompakter Raum, Y sei Hausdorff (T2). Sei f : X → Y stetige Bijektion. Zeigen Sie,
dass f dann ein Homöomorphismus ist.
Aufgabe 8
Ein topologischer Raum heißt folgenkompakt, falls es für jede Folge von Punkten eine konvergente
Teilfolge gibt. Finden Sie topologische Räume, die kompakt aber nicht folgenkompakt sind.