7 . ¨Ubung zur Topologie - Institut für Mathematik

Universität Würzburg
Institut für Mathematik
Prof. T. Grundhöfer, J. Jordan
Sommersemester 08
28.05.2008
7 . Übung zur Topologie
Abgabe: Bis Freitag, 06.06.2008, 12:00 Uhr, Briefkasten an der Mathematik-Bibliothek.
7.1 Sei X der Produktraum Πi∈I Xi von topologischen Räumen Xi , i ∈ I. Man zeige:
a) Sind alle Xi zusammenhängend so ist auch X zusammenhängend.
b) Sind alle Xi total unzusammenhängend so ist auch X total unzusammenhängend.
7.2 Seien f und g Abbildungen zwischen topologischen Räumen X und Y . Man beweise:
a) Die Diagonale {(x, x) | x ∈ X} ist genau dann abgeschlossen im Produktraum
X × X wenn X ein Hausdorff-Raum ist.
b) Falls Y ein Hausdorff-Raum ist und f und g stetig sind, so ist die Menge
{x ∈ X | f (x) = g(x)} abgeschlossen.
c) Sei Y ein Hausdorff-Raum. Der Graph {(x, f (x)) | x ∈ X} von f ist abgeschlossen im Produktraum X × Y falls f stetig ist.
d) Gilt auch die Umkehrung von c)?
7.3 Man zeige, dass die Sorgenfrey-Gerade aus Aufgabe 4.2 normal ist.