Blatt 6

Prof. Dr. Valentin Blomer
Wintersemester 2010/11
Diskrete Mathematik
Übungsblatt 6
Aufgabe 1. a) Kann man das Haus vom Nikolaus (Abbildung 1) zeichnen, ohne den Stift abzusetzen und ohne unterwegs an einer Ecke mehr als
einmal vorbeizukommen? Geht das auch so, dass man am Ausgangspunkt
wieder ankommt?
b) Zeigen Sie (zum Beispiel durch Induktion), dass die Hyperwürfel Gn vom
letzten Übungsblatt für n ≥ 2 hamiltonsch sind.
Aufgabe 2. a) Zeichnen Sie alle Bäume mit sechs Ecken. “Alle” heißt
hier bis auf Isomorphie. Sie brauchen nicht zu beweisen, dass in Ihrer
Auswahl tatsächlich keine isomorphen Bäume vorkommen und dass es sich
wirklich um alle Bäume handelt. (Es schadet aber nichts, sich trotzdem von
der Richtigkeit zu überzeugen.)
b) Zeigen Sie, dass ein Graph G = (V, E) genau dann ein Baum ist, wenn
er zusammenhängend ist, aber nach Entfernen einer beliebigen Kante nicht
mehr zusammenhängend ist.
c) Wieviele Kanten besitzt ein Graph mit n Knoten, der ein Wald aus t
Bäumen ist?
Aufgabe 3. Führen Sie den Algorithmus Tiefensuche und den Algorithmus Breitensuche, beginnend beim Knoten a, an dem Graphen aus Abbildung 2 aus und finden Sie damit je einen aufspannenden Baum.
Aufgabe 4. Beweisen Sie, dass der Algorithmus “Tiefensuche” aus der
Vorlesung korrekt ist. Zeigen Sie dazu, dass er terminiert, einen Baum ausgibt und dieser ein aufspannender ist, falls G zusammenhängend ist.
Abbildung 1: Haus vom Nikolaus
Abbildung 1: Haus vom Nikolaus
a
a
Abbildung 2: Graph
Abbildung 2: Graph
Abgabe am Mittwoch, dem 8. Dezember, vor der Vorlesung.