Diskrete Mathematik I (SS 2013)

Prof. Dr. Ralf Borndörfer
B. Sc. Stephan Schwartz
Freie Universität Berlin
FB Mathematik und Informatik
Diskrete Mathematik I (SS 2013)
Nachklausur
Vorname: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Name: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matrikelnr.: . . . . . . . . . . . . . . . . Studiengang: . . . . . . . . . . . . . . .
Mit der Veröffentlichung meines Ergebnisses im Internet unter
Angabe der Matrikelnr. bin ich einverstanden:
Unterschrift: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Note
Hinweise:
a) Sitzordnung: Jede 2. Reihe, jeder 3. Platz.
b) Tragen Sie in die vorstehenden Zeilen Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer ein.
c) Bitte legen Sie Ihren Studierendenausweis zusammen mir einem Lichtbildausweis zur
Kontrolle bereit.
d) Versehen Sie alle Blätter mit Ihrem Namen und Ihrer Matrikelnummer und nummerieren Sie die Blätter.
e) Die Bearbeitungsdauer der Klausur beträgt 90 Minuten.
f) Als Hilfsmittel zur Klausur sind zugelassen: Eine Din-A4-Seite mit handschriftlichen
Notizen und ein einfacher Taschenrechner.
g) Zum BesteBestehenhen der Klausur werden 50% der Punkte benötigt.
h) Kommunikationsgeräte wie Mobiltelefone, Notepads, Laptops etc. sind auszuschalten
und in der Tasche zu verstauen.
i) Schauen Sie zunächst alle Aufgaben an und lösen Sie diese in der Reihen subjektiv
abnehmender Schwierigkeit.
j) Viel Erfolg!
Aufgabe 1.
10 Punkte
Sei G = (V, E) ein zusammenhängender Graph mit Kantengewichten we ≥ 0 für
alle e ∈ E, sei we := we2 für alle e ∈ E und seien s, t ∈ V zwei verschiedene Knoten
von G. Beweisen oder widerlegen Sie:
a) T ist ein minimaler aufspannender Baum von (G, w) =⇒ T ist ein minimaler
aufspannender Baum von (G, w ).
b) P ist ein kürzester (s, t)-Weg in (G, w) =⇒ P ist ein kürzester (s, t)-Weg in
(G, w ).
Aufgabe 2.
10 Punkte
Betrachten Sie die Rekursion
an = 2a n +
2
n
2
,
n ≥ 0.
(1)
a) Geben Sie an für n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 an.
b) Aus (1) lässt sich durch die Substitution bk := a2k , k ≥ 0, eine lineare inhomogene
Rekursion für bk ableiten. Wie lautet diese Rekursion?
c) Lösen Sie die Rekursion für bk .
d) Geben Sie mit Hilfe der O-Notation eine Formel für an an.
Aufgabe 3.
10 Punkte
Bäcker Krause bekommt am späten Nachmittag einen Auftrag über 100 belegte
Brötchen. Er hat noch 80 Salami- und 60 Käsebrötchen da. Er bietet an, diese
entweder mit Gurke oder Ei zu dekorieren, damit die Lieferung abwechslungsreicher
aussieht. Der Kunde ist einverstanden: “Machen Sie mir von jeder der vier Sorten
aber jeweils mindestens 10 Brötchen, der Rest ist mir egal.” Wie viele verschiedene
mögliche Lieferungen aus den Sorten Salami-Gurke, Salami-Ei, Käse-Gurke und
Käse-Ei gibt es unter diesen Bedingungen?
Aufgabe 4.
10 Punkte
Betrachten Sie den folgenden Algorithmus 1:
a) Wieviele elementare Operationen führt Algorithmus 1 durch?
b) Ist Algorithmus 1 polynomial? Treffen Sie ggf. geeignete Annahmen über die
Kodierung des Inputs.
c) Welche Eigenschaft des Graphen G bestimmt Algorithmus 1? Begründen Sie
Ihre Antwort.
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Algorithmus 1: ?
Input : G = (V, E)
Output: 0 oder 1
for all v ∈ V do
d(v) ← −1;
end
for all v ∈ V do
if d(v) < 0 then
d(v) ← 0;
S ← {v};
while S = ∅ do
wähle einen Knoten u ∈ S;
S ← S \ {u};
for all uv ∈ δ(u) do
if d(v) < 0 then
S ← S ∪ {v};
d(v) ← d(u) + 1;
end
else
if d(u) + d(v) ≡ 1 (mod 2) then
return 0;
end
end
end
end
end
end
return 1;
Aufgabe 5.
10 Punkte
Sei G = (V, E) ein (einfacher) Graph und G = V, V2 \ E der Komplementärgraph
von G (d.h. der Graph, der genau die Kanten enthält, die G nicht enthält). Beweisen
oder widerlegen Sie:
a) G zusammenhängend =⇒ G nicht zusammenhängend.
b) G nicht zusammenhängend =⇒ G zusammenhängend.
Aufgabe 6.
10 Punkte
Wahr oder falsch? Begründen Sie Ihre Antwort!
a) Der vollständige Graph Kn auf n Knoten ist eulersch genau dann, wenn n ungerade ist, n ∈ N.
b) Ein Graph mit Minimalgrad δ enthält einen Pfad mit δ Kanten.
c) Die erzeugende Funktion der Folge 1, 1, 1, . . . ist f (z) =
1
.
(1−z)
d) Der maximale (1, 11)-Fluss in dem Digraphen D in Abb. 1 hat den Wert 10.
e) An der Kinokasse stehen zehn Leute an, davon haben fünf die fünf Euro Eintritt
passend (Personen 1. Art), die anderen fünf haben einen 10-Euro-Schein (Personen 2. Art). Wenn der Kassenbestand am Anfang 0 ist, dann gibt es 42 Folgen
von Personen 1. und 2. Art, so dass der Kassierer immer rausgeben kann.
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Abb. 1: Digraph D mit Kantenkapazitäten.