Einführung in die Mathematik für Informatiker INF–110
Werbung
Fachrichtung Mathematik • Institut für Algebra • Prof. Baumann, Prof. Bodirsky
Einführung in die Mathematik für Informatiker INF–110–2
Zweite Modulprüfung am 22.02.2016
Name, Vorname; Studiengang
Matrikelnummer; Jahrgang
Unterschrift
...................................
A1 (20 P) A2 (20 P) A3 (20 P)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .P
..........
A4 (20 P) A5 (20 P) Z6 (10 P)
(110 P)
...........
Beachten Sie bitte folgende Hinweise:
- Der Rechenweg ist lückenlos anzugeben, Antworten sind zu begründen.
- Die Benutzung elektronischer Geräte ist nicht gestattet.
- Es ist dokumentenechtes Schreibgerät, kein Bleistift, zu benutzen.
- Für jede Aufgabe ist ein Extrablatt zu verwenden und mit Aufgabennr. und Ihrem Namen zu versehen.
Wir wünschen Ihnen viel Erfolg!
2
0
1. Gegeben ist die reelle Matrix A :=
0
0
−1 0 −1
1 0 −1
.
−1 2 −1
−1 0
1
(a) Berechnen Sie den Rang von A und die Dimension des Kerns der Matrix AT .
(b) Bestimmen Sie den Wert der Determinante von A, und entscheiden Sie, ob die Matrix A
eine invertierbare Matrix ist.
(c) Ermitteln Sie alle Eigenwerte von A. Bestimmen Sie zu jedem Eigenwert von A den Eigenraum, und stellen Sie ihn als Spannraum dar.
(d) Es sei nun A eine beliebige Matrix aus Rn×n . Zeigen Sie, dass die Matrix A den Rang n
hat, wenn der Kern der Matrix A nur den Nullvektor enthält.
3x + 2y
x
2. Durch f : y 7→ x + y + z ist eine lineare Abbildung des R3 in den R3 gegeben
z
x − 2z
(das muss nicht gezeigt werden).
(a) Beschreiben Sie f durch eine Matrix A, so dass f (v) = Av für alle v ∈ R3 gilt.
(b) Berechnen Sie eine Basis B des Kerns von f .
Ergänzen Sie B zu einer Basis des R3 , und konstruieren Sie daraus eine Orthogonalbasis
mit dem Verfahren von Gram-Schmidt.
(c) Wie kann aus einer beliebigen Orthogonalbasis {b1 , b2 , b3 } des R3 eine Orthonormalbasis
des R3 konstruiert werden? Zeigen Sie, dass die von Ihnen konstruierte Basis wirklich eine
Orthonormalbasis ist!
3. (a) Betrachten Sie den folgenden Graphen, der sowohl gerichtete als auch ungerichtete Kanten
enthält.
Wie viele Möglichkeiten gibt es, die ungerichteten Kanten zu orientieren, so dass der entstehende Graph stark zusammenhängend ist?
(b) Beweisen oder widerlegen Sie: Ein zusammenhängender gerichteter Graph ist stark zusammenhängend, wenn jeder Knoten (!) in einem gerichteten Kreis liegt.
4. (a) Wie viele Flächen hat ein planarer Graph mit 8 Knoten und 12 Kanten?
(b) Finden Sie einen Graphen G mit den Eigenschaften aus (a), der zudem dreifach zusammenhängend ist, und zeichnen Sie ihn planar.
(c) Zeichnen Sie zu G aus Teil (b) den Dualgraphen.
(d) Beweisen oder widerlegen Sie: Der Dualgraph von G ist dreifach zusammenhängend.
5. (a) Betrachten Sie den Teilerverband der Zahl 72.
(i) Zeichnen Sie ein Hasse-Diagramm des Verbandes.
(ii) Finden Sie eine längstmögliche Kette.
(iii) Finden Sie eine längstmögliche Antikette.
(b) Betrachten Sie die folgende Menge A und die Relation R auf A:
A
= {2, 3, 4, 5, 8, 10},
R
=
{(a, b) ∈ A2 | ggT(a, b) = 1}.
Welche der folgenden Eigenschaften reflexiv, irreflexiv, symmetrisch, transitiv hat R , welche
nicht? Begründen Sie Ihre Antworten!
Zusatz 6. (a) Es sei T = (V, E) ein endlicher Baum mit n Knoten, und di sei der Grad des Knotens i,
für i ∈ V . Zeigen Sie:
X
di = 2n − 2.
i∈V
1
(b) Gegeben ist die Matrix Z := 2
2
3
1
2
0
0 über Z5 . Berechnen Sie alle Eigenwerte von Z
2
und zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.
Finden Sie ein z ∈ (Z5 )3 so, dass das lineare Gleichungssystem Zx = z keine Lösung hat,
oder begünden Sie, dass ein solches z nicht existiert.
