7. ¨Ubungsblatt - Universität Konstanz

Mathematische Grundlagen des Information Engineering I
Universität Konstanz
Fachbereich Mathematik und Statistik
WS 2005/2006
Dr. U. Friedrichsdorf
Lehrstuhl für Praktische Informatik
Daniel Fleischer
7. Übungsblatt
Ausgabe: 8. Dezember 2005 Abgabe: 15. Dezember 2005, 14:00 Uhr
Die Bearbeitung in Zweiergruppen ist ausdrücklich erwünscht.
Aufgabe 21:
6 Punkte
Ein ungerichteter Graph G = (V, E) heißt zusammenhängend, wenn für jedes Paar von Knoten
u, v ∈ V ein Pfad von u nach v in G existiert. Ist G nicht
Uk zusammenhängend, so zerfällt G in
(maximale) Zusammenhangskomponenten, d.h. V = i=1 Vi (die Vi paarweise disjunkt) und
G jeweils eingeschränkt auf Vi ist zusammenhängend. Zeigen Sie, dass die Anzahl (maximaler)
Zusammenhangskomponenten in einem Graphen mindestens |V | − |E| ist.
Aufgabe 22:
8 Punkte
a) Ein Baum T = (VT , ET ) heißt Spannbaum eines ungerichteten Graphen G = (VG , EG ),
falls VT = VG und ET ⊆ EG . Zeigen Sie, dass jeder zusammenhängende Graph G einen
Spannbaum enthält.
b) Die Anzahl Spannbäume eines Graphen G lässt sich folgendermaßen berechnen:
Sei A ∈ {0, 1}n×n die Adjazenzmatrix des Graphen und D die Diagonalmatrix, welche
die Grade der Knoten auf der Diagonalen enthält. Als Laplacematrix bezeichnet man
die Matrix L = D − A und L0 ∈ Zn−1×n−1 bezeichnet die Matrix, die aus L entsteht,
wenn die erste Zeile und die erste Spalte gestrichen wird. Die Anzahl Spannbäume ist
dann gleich der Determinante von L0 .
Wie viele Spannbäume enthält der vollständige Graph K4 (d.h. der Graph mit 4 Knoten,
in dem jeder Knoten mit jedem anderen verbunden ist)?
(Benutzen Sie zur Berechnung der Determinante beispielsweise die Regel von Sarrus.)
Aufgabe 23:
Widerlegen Sie folgende Aussagen durch Angabe eines Gegenbeispiels.
a) ∀x ∃y xRy → ∃y ∀x xRy
b) (∀x P x → ∀x Qx) → (∃x P x → ∃x Qx)
c) ∀x (P x → Qc) ↔ (∀x P x → Qc)
6 Punkte