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Prof. Dr. Heidemarie Bräsel
Otto-von-Guericke Universität Magdeburg
Fakultät für Mathematik
Institut für Algebra und Geometrie
Graphentheorie - Serie 3
1. Zeigen Sie, daß in jedem schlichten Graphen die Anzahl der Knoten mit ungerader Valenz gerade ist.
2. Zeigen Sie, daß in einem zusammenhängenden schlichten Graphen je zwei
längste Wege einen Knoten gemeinsam haben!
3. Zeigen Sie, daß der folgende Graph ein Gegenbeispiel zur Behauptung “Alle
längsten Wege haben einen gemeinsamen Knoten” ist.
u
u
@
@
u
@u
"
Q
Q "" @ u
u
Q
@
"
Q
u.
u"
Qu
@u
@
u
@u
4. Zeigen Sie, daß ein schlichter Graph mit k Komponenten maximal 12 (n−k)(n−
k +1) Kanten haben kann. Benutzen Sie dieses Resultat zum Beweis dafür, daß
ein schlichter Graph mit mehr als 21 (n − 1)(n − 2) Kanten zusammenhängend
ist!
5. Beweisen Sie, daß ein schlichter Graph G = (V, E) zusammenhängend ist,
wenn val(v) ≥ |V 2|−1 für alle Knoten v ∈ V gilt.
6. Es sei d1 ≤ d2 . . . ≤ dn die Valenzfolge eines schlichten Graphen G. Man zeige,
daß G zusammenhängend ist, falls dj ≥ j für alle j ≤ n − 1 − dn gilt.
7. Es sei G = (V, E) ein schlichter Graph mit der Adjazenzmatrix A. Zeigen Sie,
daß die Matrix Ak mit k = 1, 2, . . . in Zeile i und Spalte j die Anzahl von unterschiedlichen Kantenfolgen von Knoten i zu Knoten j mit k Kanten enthält!
Nutzen Sie diese Aussage, um den Zusammenhang des Graphen mit der folgenden Adjazenzmatrix nachzuweisen:
0 1 1 1 1 1
1 0 1 0 0 0
1 1 0 1 0 0
A=
1 0 1 0 1 0 .
1 0 0 1 0 1
1 0 0 0 1 0
Zeichnen Sie den Graphen und beschreiben Sie ihn durch eine kombinierte
Adjazenztabelle.
8. Der Graph G1 = (V1 , E1 ) und der Digraph G2 = (V2 , E2 ) seien folgendermaßen
beschrieben:
G1 : V1 = {v1 , v2 , v3 , v4 } mit N(v1 ) = {v1 , v2 }, N(v2 ) = {v1 , v3 , v4 }, N(v3 ) =
{v2 , v4 }, N(v4 ) = {v2 , v3 } mit N(v): Menge aller Nachbarn von v.
G2 : V2 = {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 , v6 } mit P (v1 ) = ∅, P (v2 ) = {v1 , v3 }, P (v3 ) =
{v4 , v5 }, P (v4 ) = {v5 }, P (v5 ) = {v2 , v6 }, P (v6 ) = {v1 } mit P (v): Menge
aller unmittelbaren Vorgänger von v.
Beschreiben Sie G1 und G2 durch die Adjazenzmatrizen! Geben Sie von G2
eine Nachfolgerliste an und bestimmen Sie für diesen Graphen die starken
Zusammenhangskomponenten!
9. Der Graph G = (V, E) ist durch die kombinierte Adjazenztabelle gegeben:
Zähler
Nachbar
Zeiger
Anfang
1
3
*
5
2
1
3
10
3
5
8
6
4
4
*
2
5 6 7 8
4 6 2 6
9 7 * *
14 12
9 10 11
5 6 2
* 1 13
12 13 14
3 4 1
11 * 4
Man zeichne den Graphen. Weiter benutze man Tiefensuche mit Startknoten
4, um zu zeigen, daß G zusammenhängend ist und gebe den aus der Tiefensuche resultierenden spannenden Baum auf G an. Welchen Abstand haben die
Knoten aus V \ {4} zum Knoten 4?
