Graphen (Hilfe zu Übungsblatt 12)

Graphen
(Hilfe zu Übungsblatt 12)
Hinweis zu Aufgabe 12.1:
Im gegebenen Graphen G = (V, E) sei v0 ∈ V ein Knoten mit
gradG (v0 ) = min{gradG (a)| a ∈ V }.
Ausgehend von diesem v0 kann dann der Pfad schrittweise konstruiert werden.
Geben Sie nun die Konstruktion eines Pfades P = {v0 , · · ·} mit
min{gradG (a)| a ∈ V } Knoten an.
Hinweis zu Aufgabe 12.2:
Der Graph G = (V, E) sei ein Baum, d.h. er ist kreisfrei und zusammenhängend
(Definition 5.6).
Zeigen Sie nun, dass G′ kreisfrei und zusammenhängend ist.
Bemerkung: gradG (v0 ) = 1, da v0 ein Blatt im Baum G ist.
Hinweis zu Aufgabe 12.3:
Betrachten Sie einen zusammenhängenden Graphen G = (V, E) mit n Knoten. Dann
können zwei Fälle auftreten:
1. Fall:
Für jede Kante e ∈ E ist G′ := (V, E \ {e}) nicht zusammenhängend.
2. Fall:
Es gibt eine Kante e ∈ E, sodass G′ := (V, E \ {e}) immer noch zusammenhängend
ist.
Überlegen Sie sich
im 1. Fall, dass G genau n − 1 Kanten hat und
im 2. Fall, dass G mindestens n − 1 Kanten hat.
Hinweis zu Aufgabe 12.4:
Der Graph G3 hat die Knoten 111, 112, 121, 122, 211, 212, 221 und 222.
{111, 112} und {121, 122} sind Beispiele für Kanten in G3 . {121, 212} ist keine Kante
in G3 .
a)
Zum Beweis, dass Gn bipartit ist, finden Sie Mengen V1 und V2 mit V1 ∪V2 = V
und V1 ∩ V2 = ∅.
b)
Die Existenz eines Eulerkreises können Sie mit dem Satz von Euler (Satz 5.9)
nachweisen. Für einige n gibt es einen Eulerkreis, für andere nicht. Also sind
2 Fälle zu betrachten.
c)
Zeigen Sie durch vollständige Induktion über n, dass Gn einen Hamilton-Kreis
besitzt.
Bemerkung: Für n = 1 ist der Hamilton-Kreis entartet. Betrachten Sie n = 2
im Induktionsanfang.
Beim Induktionsschluss teile man die Knotenmenge V des Graphen Gn+1 in
eine Knotenmenge
V1 aller derjenigen Knoten, die als letzte Komponente eine 1 haben und eine
Knotenmenge
V2 aller derjenigen Knoten, die als letzte Komponente eine 2 haben.
Nach Induktionsvoraussetzung existieren dann in beiden Teilgraphen (gleichartige) Hamiltonkreise.
Überlegen Sie sich nun, wie der Hamiltonkreis in Gn+1 ausehen kann (mithilfe
der Hamiltonkreise der beiden Teilgraphen).
Mail: {winter}@informatik.uni-halle.de
weitere Infos zur Vorlesung unter
http:http://nirvana.informatik.uni-halle.de/~theo/THEOlehre/THEOaktuell.html