Einführung in die Diskrete Mathematik ¨Ubung 7

Technische Universität Chemnitz
Frank Fischer
Chemnitz, 1. Dezember 2009
Abgabe: 30. November 2009
Einführung in die Diskrete Mathematik
Übung 7
1. Sei G zusammenhängend. Für u ∈ V setzen wir r(u) = max{d(u, v) : u 6= v}.
Der Parameter r(G) = min{r(u) : u ∈ V } heißt der Radius von G, und Z(G) =
{u ∈ V : r(u) = r(G)} das Zentrum von G. Zeigen Sie, dass das Zentrum eines
Baumes entweder aus einem Knoten oder zwei benachbarten Knoten besteht.
(4 Punkte)
2. Zeigen Sie, dass jeder Automorphismus eines Baumes mindestens einen Knoten
oder eine Kante festhält.
(3 Punkte)
3. Zeigen Sie, dass die Kanten eines Graphen G genau dann so orientiert werden
~ stark zusammenhängend ist,
können, dass der resultierende gerichtete Graph G
wenn G zusammenhängend und brückenlos ist.
(4 Punkte)
4. Sei d1 ≥ . . . ≥ dn > 0 eine Folge natürlicher Zahlen. Zeigen
Pn Sie, dass es genau
dann einen Baum mit der Gradfolge (d1 , . . . , dn ) gibt, wenn i=1 di = 2n − 2 gilt.
(3 Punkte)
5. Sei G = (V, E) ein zusammenhängender Graph und w : E → R+ eine Kostenfunktionen. Zeigen Sie, dass der folgende Algorithmus ebenfalls einen minimalen
aufspannenden Baum konstruiert:
(1) Wähle eine Kante uv minimalen Gewichtes, setze S = {u, v}, T = V \ S.
(2) Falls T = ∅ stop, andernfalls wähle eine Kante u, v minimalen Gewichtes mit
u ∈ S, v ∈ T und setze S = S ∪ {v}, = T \ {v}. Wiederhole (2).
(5 Punkte)
Zusatz: Für n Autofahrer stehen n Parkplätze zur Verfügung. Jeder Autofahrer hat
einen Lieblingsplatz, und zwar Fahrer i den Platz g(i) ∈ {1, . . . , n} (g ist nicht
notwendig injektiv). Die Fahrer kommen der Reihe nach an, 1 zuerst, dann 2 usw.
Der i-te Fahrer parkt sein Auto in Platz g(i), falls er frei ist, wenn nicht nimmt er
den nächsten freien Platz k > g(i), falls es noch einen gibt. Beispiel n = 4:
g
1
3
2
2
3
2
4
, dann 1 → 3, 2 → 2, 3 → 4, 4 → 1,
1
1
2
2
3
3
3
4
, dann 1 → 2, 2 → 3, 3 → 4, 4 →?.
2
aber
g
Sei p(n) die Anzahl der Funktionen g, die eine vollständige Belegung gestatten,
berechne p(n). Hinweis: p(2) = 3, p(3) = 16, p(4) = 125.
(5 Punkte)