Analysis II :¨Ubungsblatt 1

Prof. Dr. Christoph Bohle
Tübingen
Analysis II : Übungsblatt 1
Wjatscheslaw Kewlin
21. April 2011
Diese Aufgaben sind schriftlich auszuarbeiten und am 3. Mai vor der
Vorlesung abzugeben. Für jede Aufgabe gibt es 4 Punkte.
Aufgabe 1. Zeigen Sie, daß eine Funktion f : X → Y zwischen zwei metrischen
Räumen genau dann punktweise stetig ist (d.h., für jedes x ∈ X und jede Umgebung V von f (x) gibt es eine Umgebung U von x mit f (U ) ⊂ V ) wenn f −1 (O)
offen ist für jedes offene O ⊂ Y .
Aufgabe 2.∗ Die Abbildung f : R2 → R, (x, y) 7→ xy ist stetig. Finden Sie
so viele verschiedene Beweise dieser Tatsache, wie Sie können. (Jede gibt einen
Punkt.)
Aufgabe 3. Zeigen Sie, daß jede wegzusammenhängende Menge zusammenhängend ist. Ist die Menge {(x, y) ∈ R2 | y = sin(1/x) oder x = 0, y ∈ [−1, 1]}
zusammenhängend? Ist sie wegzusammenhängend?
Aufgabe 4. Sei f : X → Y eine bijektive, stetige Abbildung zwischen metrischen
Räumen. Ist f −1 stetig?
Aufgabe 5. Beschreiben Sie alle stetigen Abbildungen von einem zusammenhängenden metrischen Raum nach N.
Rb
Aufgabe 6.∗ Zeigen Sie, daß die Abbildung F : C 0 ([a, b], R) → R, f 7→ a f (x)dx
stetig ist, wenn man den Vektorraum C 0 ([a, b], R) mit der Supremumsnorm k.k∞
ausstattet. Zeigen Sie, daß dies auch der Fall ist, wenn man C 0 ([a, b], R) mit der
Rb
Norm kf k1 = a |f (x)|dx ausstattet. Die Identität ist eine stetige Abbildung von
(C 0 ([a, b], R), k.k∞ ) nach (C 0 ([a, b], R), k.k1 ).