ubungsblatt 9 mat601 analysis iv fr¨uhjahrssemester 2010 prof. dr
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ÜBUNGSBLATT 9 MAT601 ANALYSIS IV FRÜHJAHRSSEMESTER 2010 PROF. DR. CAMILLO DE LELLIS ABGABE: MONTAG 3.05.2010 BIS 13 UHR Die Übungsblätter werden bis Montag Mittag im Stockwerk K auf den Briefkästen ausgelegt und sind ab dann auch auf der Homepage http://www.math.unizh.ch/fs10/mat601 erhältlich. Bitte die Lösungen bis spätestens 13h am Abgabetermin in den Briefkasten von Jonas Hirsch (K–Stock) oder Daniel Perez (J–Stock) legen. 1. Aufgabe. Zeigen Sie, dass für alle z ∈ C und alle n ≥ 1 (n ∈ N) gilt X k − 1 zk z n 1 ··· 1 − . 1+ = 1+z+ 1− n n n k! 2≤k≤n Folgern Sie hieraus, dass für alle z ∈ C gilt z n ez = lim 1 + . n→∞ n 2. Aufgabe. Sei I ⊂ R ⊂ C ein offenes Intervall und f eine (komplexwertige) Funktion einer reellen Variablen, welche in I analytisch ist. Zeigen Sie, dass f sich in eine I umfassende, offene, zusammenhängende Teilmenge D ⊂ C analytisch fortsetzen lässt. 3. Aufgabe. Sei f eine meromorphe Funktion auf einem Gebiet D der komplexen Zahlen (d.h. D ist offen und zusammenhängend). Zeigen Sie, dass, für jede kompakte Teilmenge K ⊂ D, existieren analytische Funktionen g und h auf einer offenen Menge D̃ mit K ⊂ D̃ ⊂ D, so dass g(z) f (z) = , für alle z ∈ D̃ . h(z) 2 ÜBUNGSBLATT 9 (MAT601 ANALYSIS IV) 4. Aufgabe (Satz von Gauss in einer vereinfachten Situation). Seien γ1 , γ2 : [a, b] → R stetig differenzierbar mit γ1 (x) < γ2 (x), für alle x ∈ ]a, b[. Wir betrachten nun das wie folgt definierte Gebiet in R2 Ω = (x1 , x2 ) ∈ R2 x1 ∈ ]a, b[ und γ1 (x1 ) < x2 < γ2 (x1 ) Sei F = (F1 , F2 ) ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf Ω. Zeigen Sie, dass gilt Z Z F (x) · ν(x) dS = div F (x) dx , mit äußerer Normalen ν . ∂Ω Ω Bemerkung: Machen Sie sich klar, wieso eine Zerlegung eines beliebigen beschränkten e ⊂ R2 mit C 1 –Rand wie in der Skizze angedeutet, den Satz von Gauss, Gebietes Ω Z Z F (x) · ν(x) dS = div F (x) dx für ein beliebiges, stetig diffb. Vektorfeld F , e ∂Ω e Ω auf den obigen Fall zurück führt. 5. Aufgabe. Sei f ein Zweig von log auf einem Gebiet D ⊂ C. Zeigen Sie, dass S 1 keine Teilmenge von D sein kann.
