¨Ubungen zur Vorlesung Einführung in die Geometrie und Topologie

Sommersemester 2014
Blatt 8
Prof. Stefan Schwede
Dr. Wolfgang Steimle
Übungen zur Vorlesung
Einführung in die Geometrie und Topologie
Abgabe: 24.06.14 in der Vorlesungspause
Aufgabe 8.1:
(a) Sei p : E → X eine Überlagerung, sei f : Y → X eine stetige Abbildung und seien
g1 , g2 : Y → E zwei Lifts von f (d.h. p ◦ g1 = p ◦ g2 = f ). Zeige: Die Menge
{y ∈ Y | g1 (y) = g2 (y)} ⊂ Y
ist offen und abgeschlossen.
(b) Ist Y zusammenhängend, so stimmen zwei Lifts überein, falls sie auf einem Punkt
übereinstimmen.
Aufgabe 8.2: Seien X und Y zusammenhängende und lokal wegzusammenhängende
e → X und Ye → Y
Räume und sei f : X → Y eine Homotopie-Äquivalenz. Seien X
universelle Überlagerungen.
e → Ye , und jeder solche Lift ist eine HomotopieZeige: f liftet zu einer Abbildung f˜: X
Äquivalenz.
Aufgabe 8.3: Sei H ⊂ R2 der Unterraum der “Hawaiischen Ohrringe” (vgl. Aufgabe 2.1). Zeige, dass H keine universelle Überlagerung hat. (Hinweis: Ein Unterraum
A ⊂ B heißt Retrakt, wenn es eine stetige Abbildung r : B → A mit r(a) = a für alle
a ∈ A gibt. Ein hilfreicher Zwischenschritt im Beweis ist zu zeigen, dass jede Umgebung des problematischen Punktes von H einen zu S 1 homöomorphen Raum als Retrakt
enthält.)
Aufgabe 8.4: Für eine Überlagerung p : E → X sei ∆(p) die Menge der Homöomorphismen ϕ : E → E über X (d. h., für die gilt: ϕ ◦ p = p). Dies ist eine Gruppe unter
Komposition von Abbildungen, mit neutralem Element idE .
(a) Zeige: Für alle x ∈ X definiert ϕ · e := ϕ(e) eine stetige (Links-)Gruppenwirkung
von ∆(p) auf p−1 (x).
(b) Seien nun E und X zusammenhängend und lokal wegzusammenhängend. Zeige, dass
die folgenden Aussagen äquivalent sind:
(i) Es gibt ein x ∈ X so dass die Decktransformationsgruppe ∆(p) transitiv auf
p−1 (x) wirkt.
(ii) Für alle x ∈ X wirkt die Decktransformationsgruppe ∆(p) transitiv auf p−1 (x).
(iii) Es gibt ein e ∈ E so dass die charakteristische Untergruppe p∗ (π1 (E, e)) ein
Normalteiler von π1 (X, p(e)) ist.
(iv) Für alle e ∈ E ist die charakteristische Untergruppe p∗ (π1 (E, e)) ein Normalteiler von π1 (X, p(e)).
(v) Die von p induzierte Abbildung ∆(p)\E → X ist ein Homöomorphismus, wobei
∆(p)\E den Quotientenraum von E nach der Wirkung der Decktransformationsgruppe bezeichnet.
Wenn diese äquivalenten Bedingungen erfüllt sind, heißt die Überlagerung normal
(oder auch regulär ).