Topologie

Dr. F. Stoll
11. Übungsblatt zur Vorlesung
Prof. Dr. R. Dipper
Topologie
Winter 2008/09
Aufgabe P 42.
Lesen (und verstehen) Sie zuerst die P43.
Geben Sie dann zwei verschiedene zweiblättrige Überlagerungen des unten abgebildeten topologischen Raums an.
Aufgabe P 43.
Seien X und Y topologische Räume und π : Y → X stetig und surjektiv. Zeigen Sie, dass π
genau dann eine Überlagerung ist, wenn jeder Punkt x ∈ X eine offene Umgebung N ∈ OX
besitzt, sodass π −1 (N ) disjunkte Vereinigung von offenen Mengen Oi ∈ OY ist und π|Oi :
Oi → N Homöomorphismus ist.
Aufgabe P 44.
Das Möbiusband ist topologischer Raum über der Mittellinie S 1 . Die zugehörige Abbildung
bildet jeden Punkt des Bandes senkrecht zum Rand auf die Mittellinie S 1 ab. Zeigen Sie dass
das Möbiusband lokal trivial, aber nicht trivial über der Mittellinie ist.
11. Übungsblatt
Topologie
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Aufgabe H 27. 2 Punkte
Sei π : Y → X Überlagerung und X zusammenhängend. Zeigen Sie, dass alle Fasern die gleiche
Mächtigkeit haben (unter Umständen auch unendlich).
Aufgabe H 28. 5=2+3 Punkte
Sei π : Y → X k-blättrige Überlagerung. Zeigen Sie:
(a) Ist X Hausdorffsch, dann ist auch Y Hausdorffsch.
(b) Ist k endlich und X kompakt, dann ist auch Y kompakt.
Hinweis: Zeigen Sie dazu zuerst: Ist x ∈ X, O ∈ OY mit π −1 (x) ⊆ O, dann gibt es
ein V ∈ OX , sodass x ∈ V und π −1 (V ) ⊆ O ist. Sei dann Y = ∪i∈I Oi eine offene
Überdeckung. Finden Sie zu jedem x ∈ X eine geeignete offene Menge O(x) ∈ OY , die
π −1 (x) enthält und Vereinigung endlich vieler Oi ist.
Hilfsmittel zur Scheinklausur: 1 mit eigener Hand (beidseitig) beschriebenes Blatt
DIN A 4