Topologie,¨Ubung 10

Topologie, Übung 10
1) Ein wegzusammenhängender topologischer Raum X heißt einfach zusammenhängend, wenn für einen Punkt x0 ∈ X, π(X, x0 ) = {1} gilt. Dann gilt
dies für einen beliebigen Punkt x ∈ X.
Es sei X ein wegzusammenhängender und lokal wegzusammenhängender
topologischer Raum. Es sei u : X̃ → X eine Überlagerung, so dass X̃ einfach
zusammenhängend ist.
Beweisen Sie, dass jeder Punkt x ∈ X eine Umgebung N besitzt, so dass
π(N, z) → π(X, z) für alle z ∈ N trivial ist.
2) Es sein n ∈ N. Wir bezeichnen mit Cn den Kreis in der Ebene R2 , mit
dem Mittelpunkt (2−n , 0) und dem Radius 2−n .
Es sei X die Vereinigung aller Kreise Cn mit der durch R2 induzierten
Topologie.
Man beweise, dass X keine universelle Überlagerung besitzt. (Man verwende Aufgabe 1)
3) Es sei G eine endliche Gruppe, die auf einem Hausdorffschen Raum
X von links operiert. Man nehme an, dass die Operation keine Fixpunkte
besitzt. D.h. eine Gleichung gx = x, wo g ∈ G, und x ∈ X impliziert g = 1G .
Man beweise, dass G eigentlich diskontinuierlich auf X operiert. anton
4) Es seien S, T die folgenden Homöomorphismen (hier affine Abbildungen) von R2 :
T ((x, y)) = (x + 1, −y),
S((x, y)) = (x, y + 1).
Man beweise die Relation ST S = T .
Man beweise, dass die Menge G aller Homöomorphismen S m ◦ T n , wo
n, m ∈ Z bezüglich der Komposition von Abbildungen eine Gruppe ist.
Man zeige, dass die Gruppe G eigentlich diskontinuierlich (von links) auf
R2 operiert.
Den topologischen Raum G\R2 nennt man die Kleinsche Flasche. Was
ist die Fundamentalgruppe dieses topologischen Raumes?
Abgabe am Donnerstag, den 16.1.2014