5.1 5.2 5.3 5.4 5P 5.5

Topologie: Übungsblatt 5
Dr. C. Hog-Angeloni/J. Hofmann
Bearbeiten Sie die beiden markierten Aufgaben als Hausaufgaben.
Ein Abbildung f : X → Y heißt nullhomotop, falls Sie homotop zu einer konstanten Abbildung ist.
Ein topologischer Raum X heißt zusammenziehbar, falls idX nullhomotop ist.
5.1
1. Zeigen Sie, dass eine zusammenziehbarer topologischer Raum wegzusammenhängend ist.
2. Zeigen Sie, dass X genau dann zusammenziehbar ist, wenn für jeden topologischen Raum Y jede
stetige Abbildung f : X → Y nullhomotop ist.
5.2
Betrachten Sie die topologischen Räume
• S 1 ∪ (0 × [−1, 1]) ⊂ R2
• R2 \ {(0, −1), (0, 1)} ⊂ R
• (x, y) ∈ R2 y 2 + x2 − x4 = 0 ⊂ R2
• (S 1 × S 1 ) \ {p}.
Fertigen Sie jeweils eine Skizze an und entscheiden Sie, welche der Räume homotopieäquivalent zueinander sind.
5.3
Für einen topologischen Raum X definiert man die Relation ∼ durch x ∼ y , falls ein Weg γ : [0, 1] → X
mit Anfangspunkt x und Endpunkt y existiert. Dies ist eine Äquivalenzrelation. Die Äquivalenzklassen
werden Wegkomponenten gennant. Sei nun Y ein weiterer zu X homotopieäquivalenter topologischer
Raum. Zeigen Sie, dass die Anzahl der Wegkomponenten von X und Y übereinstimmt.
5.4
5P
1. Seien X und Y zwei topologische Räume. Zeigen Sie, dass
π1 (X × Y, (x, y)) ∼
= π1 (X, x) × π1 (Y, y)
gilt.
2. Zeigen Sie, falls A ein Retrakt von X ist, dann ist der durch i : A ,→ X induzierte Homomorphismus i∗ : π1 (A, x0 ) → π1 (X, x0 ) injektiv.
3. Zeigen Sie, falls r : X → A eine Retraktion ist, dann ist r∗ : π1 (X, a0 ) → π1 (A, a0 ), a0 ∈ A
surjektiv.
5.5
1. Zeigen Sie, dass es keine Retraktion r : R3 → S 1 gibt.
2. Zeigen Sie, dass der Torus kein Retrakt seines zugehörigen Volltorus ist.
3. Zeigen Sie, dass für jeden Punkt x0 ∈ S 1 die Teilmenge S 1 × x0 ⊂ S 1 × S 1 (⊂ R2 ) ein Retrakt,
aber kein Deformationsretrakt ist.
Abgabe: 24.05.2013
Topologie: Übungsblatt 5
5.6
Dr. C. Hog-Angeloni/J. Hofmann
4P
Sei X ein wegzusammenhängender topologischer Raum. Zeigen Sie, dass die beiden folgenden Behauptungen äquivalent sind.
1. X ist einfach zusammenhängend.
2. Für je zwei Punkte a, b ∈ X gilt π1 (X, a, b) = {e}.
Abgabe: 24.05.2013